泛函分析2-1 赋范空间-赋范空间的基本概念

第二章 第一节 赋范空间的基本概念

赋范空间的定义

定义
设 \(X\) 是数域 \(K\) 上的线性空间，函数 \(\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}\) 满足以下四个条件：

1. 非负性：对任意 \(x \in X\)，有 \(\|x\| \geq 0\)；
2. 正定性：\(\|x\|=0\) 当且仅当 \(x=0\)（其中 \(0\) 为线性空间 \(X\) 的零元）；
3. 正齐次性：对任意 \(x \in X\)、任意 \(\alpha \in \mathbb{K}\)，有 \(\|\alpha x\| =|\alpha|\|x\|\)；
4. 三角不等式：对任意 \(x, y \in X\)，有 \(\|x+y\| \leqslant\|x\|+\|y\|\)。

则称 \(\|\cdot\|\) 是 \(X\) 上的一个范数。定义了范数的线性空间称为赋范空间，记为 \((X,\|\cdot\|)\)，或简记为 \(X\)。

注：在赋范空间中，可由范数自然地定义距离：

\[d(x, y)=\|x-y\|, \]

由范数的定义，可验证上述 \(d(x, y)\) 满足距离的定义，具体如下：

1. 非负性：对任意 \(x, y \in X\)，有 \(d(x, y)=\|x-y\| \geq 0\)；
2. 正定性：\(d(x, y)=\|x-y\| =0\) 当且仅当 \(x-y=0\)，即 \(x=y\)；
3. 对称性：对任意 \(x, y \in X\)，有 \(d(y, x)=\|y-x\| =|-1|\|x-y\| =\|x-y\| =d(x, y)\)；
4. 三角不等式：对任意 \(x, y, z \in X\)，有 \(d(x, y)=\|x-y\| \leq\|x-z\| +\|z-y\| =d(x, z)+d(z, y)\)。

把 \((X, d)\) 称为由范数诱导的距离空间。由此可见，赋范空间一定是距离空间。如无特殊说明，赋范空间的距离都是指由范数诱导的距离。赋范空间有了距离后，就可以沿用距离空间的相关概念，包括开集、闭集、收敛以及完备性等。

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按范数收敛

定义
设 \(\{x_n\}\) 是赋范空间 \(X\) 中的点列，\(x \in X\)。如果

\[\|x_n - x\| \to 0 \quad (n \to \infty) \]

则称 \(\{x_n\}\) 按范数收敛到 \(x\)，记为 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x\)。

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Banach 空间

定义
完备的赋范空间称为 Banach 空间。

注：由于赋范空间是距离空间，因此 Banach 空间是完备的距离空间，具备完备距离空间的所有性质。

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范数的连续性

定理
设 \((X, \|\cdot\|)\) 是赋范空间，则：

1. 对任意 \(x, y \in X\)，有 \(|\|y\| - \|x\|| \leq \|y - x\|\)；
2. 范数 \(\|\cdot\|\) 是连续函数，即若 \(x_n \to x \ (n \to \infty)\)，则 \(\|x_n\| \to \|x\| \ (n \to \infty)\)；
3. 范数 \(\|\cdot\|\) 对线性运算连续，即若 \(x_n \to x\)、\(y_n \to y \ (n \to \infty)\)，且数域 \(K\) 中的数列 \(\{\alpha_n\}\) 满足 \(\alpha_n \to \alpha \ (n \to \infty)\)，则 \(x_n + y_n \to x + y\)、\(\alpha_n x_n \to \alpha x \ (n \to \infty)\)。

证明

1. 由三角不等式推导：
   一方面，\(\|y\| = \|(y - x) + x\| \leq \|y - x\| + \|x\|\)，移项得 \(\|y\| - \|x\| \leq \|y - x\|\)；
   另一方面，\(\|x\| = \|(x - y) + y\| \leq \|x - y\| + \|y\|\)，移项得 \(\|x\| - \|y\| \leq \|x - y\| = \|y - x\|\)。
   结合两式，即得 \(|\|y\| - \|x\|| \leq \|y - x\|\)。

2. 由 (1) 的结论可知：
   \(|\|x_n\| - \|x\|| \leq \|x_n - x\|\)。
   若 \(x_n \to x \ (n \to \infty)\)，则 \(\|x_n - x\| \to 0\)，进而 \(|\|x_n\| - \|x\|| \to 0\)，即 \(\|x_n\| \to \|x\| \ (n \to \infty)\)。因此范数 \(\|\cdot\|\) 是连续函数。

3. 验证对线性运算的连续性：

   • 加法：由三角不等式，\(\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \leq \|x_n - x\| + \|y_n - y\|\)。
     若 \(x_n \to x\)、\(y_n \to y\)，则 \(\|x_n - x\| \to 0\)、\(\|y_n - y\| \to 0\)，故 \(\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \to 0\)，即 \(x_n + y_n \to x + y\)。
   • 数乘：将 \(\|\alpha_n x_n - \alpha x\|\) 拆分变形：
     \[\|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha_n (x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x\| \leq |\alpha_n| \|x_n - x\| + \|x\| |\alpha_n - \alpha|. \]
     因 \(\{\alpha_n\}\) 收敛，故 \(\{|\alpha_n|\}\) 有界（设 \(|\alpha_n| \leq M\)，\(M\) 为常数）；又 \(\alpha_n \to \alpha\) 得 \(|\alpha_n - \alpha| \to 0\)，\(x_n \to x\) 得 \(\|x_n - x\| \to 0\)。
     因此 \(|\alpha_n| \|x_n - x\| \to 0\)、\(\|x\| |\alpha_n - \alpha| \to 0\)，进而 \(\|\alpha_n x_n - \alpha x\| \to 0\)，即 \(\alpha_n x_n \to \alpha x\)。
     综上，范数 \(\|\cdot\|\) 对线性运算连续。

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范数与距离的关系

定理
设 \(X\) 是赋范空间，\(d\) 是由范数诱导的距离。则对任意 \(x, y, z \in X\)、任意 \(\alpha \in K\)，有：

\[d(x, y) = d(x + z, y + z) \]

\[d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| d(x, y) \]

证明

• 平移不变性：
  \[d(x + z, y + z) = \|(x + z) - (y + z)\| = \|x - y\| = d(x, y) \]

• 数乘齐次性：
  \[d(\alpha x, \alpha y) = \|\alpha x - \alpha y\| = \|\alpha (x - y)\| = |\alpha| \|x - y\| = |\alpha| d(x, y) \]

注：

• 上述两式是范数诱导距离需满足的必要条件，并非所有距离都能由范数诱导。
• 第一式反映范数诱导的距离具有“平移不变性”，即距离在“刚体平移”后保持不变；第二式反映该距离具有“数乘齐次性”，即距离随向量的数乘比例缩放。

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例子

例：空间 \(s\) 不是赋范空间

空间 \(s\)，即全体实数列组成的集合，在其上定义距离：

\[d(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} \frac{|\xi_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \eta_k|}, \]

其中 \(x = \{\xi_k\}\)，\(y = \{\eta_k\}\)。容易证明 \(s\) 是距离空间。

考虑 \(d(\alpha x, 0)\)。显然，当 \(x \neq 0\)，\(\alpha \neq 0\) 且 \(|\alpha| \neq 1\) 时，有

\[d(\alpha x, 0) \neq |\alpha| d(x, 0). \]

可见，这个距离 \(d\) 不满足数乘齐次性相关式子，因此空间 \(s\) 中的距离不是由任何一个范数诱导出来的。
此例表明赋范空间是特殊的距离空间（距离满足由范数诱导的条件），而并非所有距离空间都是赋范空间。

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例：\(C[a,b]\) 上的最大范数

\(C[a, b]\) 表示闭区间 \([a, b]\) 上连续函数的全体，对加法、数乘运算封闭。
在 \(C[a, b]\) 上定义范数：

\[\|x\| = \max_{a \leq t \leq b} |x(t)| \]

容易证明 \(C[a, b]\) 是一个赋范空间。
在由该范数诱导的距离

\[d(x,y) = \max_{a \leq t \leq b} |x(t)-y(t)| \]

下，\(C[a, b]\) 是完备的（Banach 空间）且可分的。

类似地，考虑 \(C(\Omega)\)，其中 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 是列紧的闭集。
\(C(\Omega)\) 表示 \(\Omega\) 上全体连续函数的集合，其上定义范数：

\[\|x\| = \max_{t \in \Omega} |x(t)| \]

可证明 \(C(\Omega)\) 是完备的（Banach 空间）且可分的赋范空间。

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例：\(C[a,b]\) 上的 \(L^1\) 范数不完备

设 \(X\) 表示 \([a, b]\) 上的全体连续函数，在 \(X\) 上定义范数：

\[\|x\|_1 = \int_{a}^{b} |x(t)| dt \]

利用积分的线性性质和绝对值的三角不等式，可证明 \(\|\cdot\|_1\) 是一个范数，即 \((X, \|\cdot\|_1)\) 是赋范空间。

但在由该范数诱导的距离

\[d(x, y) = \|x-y\|_1 = \int_{a}^{b} |x(t)-y(t)| dt \]

下，\((X, \|\cdot\|_1)\) 不是完备的。
同理，在 \([a, b]\) 上全体连续函数组成的线性空间中，赋以其他类似积分型范数形成的赋范空间也不完备。

注：上述例子表明，同一个集合上赋以不同的范数，生成的赋范空间其完备性可能不同。