第二章 第二节 赋范空间的几何结构
定理
设 \(B(0,1)=\{x \in X \mid \|x\|<1\}\) 是赋范空间 \(X\) 中开的单位球，则 \(B(0,1)\) 是凸的。
证明
对于任意的 \(x, y \in B(0,1)\) 及 \(0<\alpha<1\)，则
于是 \(\alpha x+(1-\alpha) y\in B(0,1)\)，所以 \(B(0,1)\) 是一个凸集。
注：单位球是0点的一个凸邻域，这是赋范空间十分重要的几何特征。
例
设 \(X\) 是由有序实数组 \(x=(x_{1}, x_{2})\) 组成的空间，在 \(X\) 上定义 \(\varphi(x)=(\sqrt{|x_{1}|}+\sqrt{|x_{2}|})^2\)，则曲线 \(\varphi(x)=1\) 围成的区域不是凸集。因此 \(\varphi(x)\) 不是 \(X\) 上的范数。
定理
设 \(X\) 是一个赋范空间，\(X_{1}\) 是 \(X\) 的一个子空间。如果 \(X_{1}\) 是开集，则 \(X_{1}=X\)。
证明
对任意的 \(x \in X\)，只需证明 \(x \in X_{1}\) 即可。
- (1) 当 \(x=0\) 时，由于 \(X_{1}\) 是一个子空间，故 \(x=0 \in X_{1}\)。
- (2) 假设 \(x \neq 0\)。因为 \(X_{1}\) 是开集且 \(0 \in X_{1}\)，所以存在 \(\delta>0\)，使得 \(B(0,\delta) \subset X_{1}\)。因此 \(\frac{\delta x}{2\|x\|} \in X_{1}\)，这是由于\[\left\| \frac{\delta x}{2\|x\|} \right\| = \frac{\delta \|x\|}{2\|x\|} = \frac{\delta}{2}<\delta. \]
注意到 \(X_{1}\) 是一个线性子空间，于是 \(x = \frac{2\|x\|}{\delta} \cdot \frac{\delta x}{2\|x\|} \in X_{1}\)。因此 \(X \subset X_{1}\)，从而 \(X=X_{1}\)。
注：这个定理说明赋范空间 \(X\) 的真子空间不能是开集。
那真子空间是否是闭集呢？事实上在 \(\mathbb{R}^{n}\) 空间以及所有有限维空间中（后续我们将看到所有 \(n\) 维空间都同构于 \(\mathbb{R}^{n}\)），所有的子空间都是闭的。但是在无穷维空间，子空间就可能不是闭的。
例
设 \(\varphi=\{ \{x_{n}\} \in l^{\infty} \mid \exists N \in \mathbb{N}_{+}, \forall n>N, x_{n}=0 \}\)，即 \(\varphi\) 中的数列仅有有限项不等于零。显然 \(\varphi\) 是 \(l^{\infty}\) 的一个线性子空间，但是 \(\varphi\) 不是闭的。
事实上，令 \(y_{n}=(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, 0,0, \cdots)\)，\(y=(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots)\)。虽然 \(y_{n} \in \varphi\) 并且
所以 \(\lim _{n \to \infty}\|y_{n}-y\|=0\)，即 \(\lim _{n \to \infty} y_{n}=y\)，但是 \(y \notin \varphi\)，因此 \(\varphi\) 不是闭的。
定理
设 \(X\) 是赋范空间，\(X_{1} \subset X\) 是子空间，则
- (1) 若子空间 \(X_{1}\) 是完备的，则 \(X_{1}\) 是闭的；
- (2) 若 \(X\) 是 Banach 空间，\(X_{1}\) 是 \(X\) 的闭子空间，则 \(X_{1}\) 一定是 Banach 空间。
证明
- (1) 由完备性的定义和收敛点列都是柯西列可证。
- (2) 根据闭子空间的性质可证。
例
设 \(c\) 表示收敛数列的全体，定义范数
则 \(c\) 是一个赋范空间。在通常加法和数乘的意义下，\(c\) 是 Banach 空间 \(l^{\infty}\) 的子空间。
定理
\(c\) 是 Banach 空间 \(l^{\infty}\) 的闭子空间。进而 \(c\) 是 Banach 空间。
证明
分析：只需证明 \(c\) 中的任何收敛点列的极限属于 \(c\)。
设 \(\{x_{n}\}\) 是 \(c\) 中收敛点列，即 \(x_{n} \to x_{0}\)，其中 \(x_{n}=\{\xi_{k}^{(n)}\}\)，\(x_{0}=\{\xi_{k}^{(0)}\}\)。我们要证明 \(x_{0} \in c\)，即证 \(x_{0}\) 是一个收敛的数列，只需证明 \(x_{0}\) 是一个 Cauchy 数列。
由于 \(c \subset l^{\infty}\) 且 \(\{x_{n}\}\) 在 \(l^{\infty}\) 中按范数收敛到 \(x_{0}\)，故对于 \(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N\)，当 \(n \geq N\) 时，
因此当 \(n \geq N\) 时，对于每一个 \(k\)，
因为 \(x_{N}=\{\xi_{k}^{(N)}\}_{k=1}^{\infty}\) 是一个收敛的数列（\(k \to \infty\)），所以 \(\exists K\)，当 \(k, l>K\) 时，
于是
从而 \(\{\xi_{k}^{(0)}\}_{k=1}^{\infty}\) 是 Cauchy 数列，即它是收敛的数列，因此 \(x_{0} \in c\)。所以 \(c\) 是 Banach 空间 \(l^{\infty}\) 的闭子空间。
例
设 \(c_{0} = \{\text{全体收敛到0的数列}\}\)，定义范数
则 \(c_{0}\) 是 \(c\) 的闭子空间。
证明
显然 \(c_{0}\) 是 \(c\) 的子空间，要证明是闭的，只需证明：若
则 \(x_{0} \in c_{0}\)，即 \(x_{0}\) 是收敛到 0 的数列。
注意到，在 \(c\) 中的收敛是一致收敛，所以对于任意的 \(\varepsilon>0\)，可以找到 \(N\)，当 \(k\) 充分大时
即 \(\lim _{k \to \infty} \xi_{k}^{(0)}=0\)，我们有 \(x_{0} \in c_{0}\)，即 \(c_{0}\) 是 \(c\) 的闭子空间。
注：\(c_{0} \subset c \subset l^{\infty}\)（都是 \(l^{\infty}\) 的闭子空间），于是 \(c_{0}\) 是 Banach 空间。同理可证：全体收敛到实数 \(x\) 的数列也是 \(l^{\infty}\) 的闭子空间（\(x\) 为任意常数）。
关于赋范空间的真子空间和闭子空间，需要注意：
- (1) 若 \(M\) 是赋范空间 \(X\) 中的一个真子空间，那么 \(M\) 可能在 \(X\) 中稠密。例如，多项式函数的全体是 \(C[a, b]\) 的稠密的真子空间。但在有限维空间，真子空间不可能在全空间中稠密。（这是因为有限维空间的真子空间一定是闭的，如果还是稠密的话，那就不可能是真子空间了）
- (2) 若 \(M\) 是 \(X\) 的闭子空间，\(M\) 要在 \(X\) 中稠密只能是 \(M=X\)。
- (3) 从前两点可以看出，一个真闭子空间不可能稠密。于是若 \(M\) 是 \(X\) 中的一个真闭子空间，则一定存在一个 \(X\) 中的点，它和 \(M\) 有正距离。但是这个正距离能有多大？
定理（F. Riesz 引理）
设 \((X,\|\cdot\|)\) 是一个赋范空间，\(X_{0}\) 是 \(X\) 的真闭子空间，则 \(\forall \varepsilon>0\)，存在 \(x_{0} \in X\)，使得 \(\|x_{0}\|=1\)，且 \(\forall x \in X_{0}\)，
证明
- 因为 \(X_{0}\) 是 \(X\) 的真子空间，于是存在 \(x_{1} \in X \setminus X_{0}\)，记 \(d=\inf _{x \in X_{0}}\| x-x_{1}\|\)。
- 因 \(X_{0}\) 是闭的，故 \(d>0\)。否则存在 \(x_{n} \in X_{0}\)，且 \(\|x_{n}-x_{1}\| \to 0\)，再由 \(X_{0}\) 闭，推出 \(x_{1} \in X_{0}\)，矛盾。
- 不妨设 \(\varepsilon<1\)，则有 \(\frac{d}{1-\varepsilon}>d\)。由下确界的定义，存在 \(x_{2} \in X_{0}\)，使得 \(\|x_{1}-x_{2}\| < \frac{d}{1-\varepsilon}\)。
- 令 \(x_{0}=\frac{x_{1}-x_{2}}{\|x_{1}-x_{2}\|}\)，则 \(\|x_{0}\|=1\)。对于任何 \(x \in X_{0}\)，注意到 \(x_{2} \in X_{0}\)，我们有 \(x \cdot \|x_{1}-x_{2}\| + x_{2} \in X_{0}\)，因此\[\| x \cdot \|x_{1}-x_{2}\| + x_{2} - x_{1}\| \geq d \]两边除以 \(\|x_{1}-x_{2}\|\) 得\[\| x - \frac{x_{1}-x_{2}}{\|x_{1}-x_{2}\|}\| \geq \frac{d}{\|x_{1}-x_{2}\|} > 1-\varepsilon. \]