一数视频（小姚老师）
圆柱模型
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圆柱高为 \(h\)，底面半径为 \(r\)，则根据勾股定理 \(R^2 = r^2 + (\frac 1 2 h)^2\) 求出外接球半径 \(R\)。
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有线面垂直的棱锥，可以补成圆柱。\(h\) 就是线面垂直中的线；底面就是线面垂直中的面的外接圆，若面为三角形，直接正弦定理 \(\frac a {\sin A} = 2r\) 就能解出外接圆半径 \(r\)，如果面为多边形，随便取多边形的三个顶点围成的三角形，和上面一样用正弦定理即可。
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若存在动点，或给定外接球半径求最值，一个常用的方法是设 \(h,r\) 然后用不等式或者函数求最值。
Tip：当两数积与和定一求一时，通常考虑均值不等式。
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直棱柱同样转化为圆柱，\(h\) 即为直棱柱的高，\(r\) 即为直棱柱底面外接圆半径（求法和棱锥一样）。
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斜棱柱没有外接球。这很显然。
圆锥模型
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圆锥高为 \(h\)，底面半径为 \(r\)，则根据勾股定理 \(R^2 = r^2 + (h-R)^2\) 求外接球半径 \(R\)。
注：不需要在意圆锥的外接球球心是否在圆锥内部，因为无论在不在列出来的勾股定理式子都是一样的。
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侧棱长均相等的棱锥，可以补成圆锥，\(h\) 为棱锥的高，\(r\) 依然是棱锥底面外接圆。
台体模型
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台体需要分讨球心是否在台体内部。令台体下底面半径 \(r_1\)，上底面半径 \(r_2\)，高 \(h\)。
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球心在台体内部：还是勾股定理（如上图），\(\sqrt {R^2 - r_2^2} + \sqrt {R^2 - r_1^2} = h\) 求 \(R\)。
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球心在台体外部：类似地，\(\sqrt {R^2 - r_2^2} - \sqrt {R^2 - r_1^2} = h\)。
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棱台可以补成圆台，\(r_1,r_2\) 就是下底面、上底面外接圆半径，\(h\) 就是棱台的高。注意需要分讨球心是否在台体内部。
长方体模型
简单的。
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长方体外接球半径即为体对角线。
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墙角模型可以补成长方体，这个模型就是存在三条棱两两垂直的三棱锥，那么这三条棱就是长方体的三条棱。然后它也可以衍生出一些奇怪的墙角模型（上面第二个图），总之看到有一堆直角（一般 \(\ge 3\) 个）的三棱锥就考虑一下能不能补成长方体就好了。
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对棱相等的三棱锥可以转化为长方体的每个面对角线形成的三棱锥，设这个三棱锥棱长为 \(a,b,c\)（和上面第三个图正好相反），则可以列方程：
\[\begin{cases} a^2=y^2+z^2 \\ b^2=x^2+z^2 \\ c^2=x^2+y^2 \end{cases} \]或者直接背公式：
\[R = \frac { \sqrt {2(a^2+b^2+c^2)} } {4} \]GPT 对话