使用FCM进行编码解码

1 FCM到底是什么?

FCM 的全名是 Fuzzy C-Means，中文一般叫模糊 C 均值聚类。它是一种聚类算法，但和普通聚类不一样：

普通聚类：一个点只属于一个类。 FCM：一个点可以同时属于多个类，只是“属于的程度”不同。

2 为什么论文里要用FCM?

FCM 是最常见的 fuzzy clustering 方法之一，因为它可以生成可解释的 fuzzy sets，很适合拿来做 information granules。
运行完 FCM 后，会得到两样关键东西：

prototype：也就是聚类中心、原型 membership matrix：也就是隶属度矩阵。

3 FCM输出的两个核心结果是什么?

1. prototype / cluster centers

2. membership matrix

4 FCM到底在优化什么?

FCM 的目标函数：

FCM 想找到一组最合适的中心和隶属度，让每个点和各个中心之间的“加权距离总和”尽可能小。
FCM 的目标，就是一边调整聚类中心，一边调整每个点对各中心的隶属度，让整体表示最合理。

5 FCM是怎么一步一步算出来的?

第一步：先定簇数 c

论文在二维重构图实验里就用了不同的c，并展示了 c 增加时重构误差会下降。

第二步：初始化隶属度矩阵

先给每个点随机分一组隶属度，比如一个点对 3 个簇：[0.5,0.3,0.2] 总和是 1。

第三步：根据隶属度更新聚类中心

哪个点对某个簇的隶属度高，它对这个簇中心的影响就更大。所以簇中心本质上是一个加权平均。

第四步：根据新的中心更新隶属度

如果某个点离某个中心更近，那它对这个中心的隶属度就变大；离得远，隶属度就变小。

第五步：反复迭代直到收敛

更新中心 更新隶属度 再更新中心 再更新隶属度 ...

6 为什么这叫“编码”?

编码 = 粒化 = 把原始数据表示成模糊信息粒
论文直接把 granulation 写成一个从原始空间到 [0,1]^c的映射；也就是说，一个原始样本会被表示成一个长度为 c 的隶属度向量。

7 为什么还能“解码”？

因为编码后你并没有把信息完全丢掉。

8 解码公式到底是什么意思？

如果一个点几乎只属于某个中心，那重构点就很接近那个中心 如果一个点同时属于多个中心，那重构点就是多个中心之间的折中位置

9 为什么解码后不可能和原始数据完全一样?

解粒化会产生 reconstruction error，也就是重构误差。

10 任务总结

原始数据

第一步：FCM 粒化 / 编码

第二步：解粒化 / 解码

第三步：评价效果

第一句： FCM 是模糊聚类，不是硬聚类。
第二句： FCM 的输出有两个核心：聚类中心 + 隶属度矩阵。
第三句： 编码就是把样本表示成“对各个中心的隶属度向量”。
第四句： 解码就是用“中心 + 隶属度”把样本重构回来。

数学公式

1 FCM目标函数

FCM 通过最小化下面这个目标函数，得到原型和隶属度矩阵：

2 编码

3 解码

4 重构误差

数值越小，说明重构越好。