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教学讲义：用虚短虚断分析Sallen-Key二阶低通滤波器

news 2026/4/22 7:01:13

教学讲义：用虚短虚断分析Sallen-Key二阶低通滤波器

课程目标

理解Sallen-Key低通滤波器的电路拓扑
掌握利用运放虚短、虚断特性推导传递函数的方法
理解“二阶滤波器”的本质，并能推导截止频率公式
结合电路实例，完成从理论到仿真的闭环验证

一、电路拓扑与基础认知

1. 电路结构识别

你提供的电路是一个典型的Sallen-Key拓扑二阶低通有源滤波器，核心组成分为两部分：

运放缓冲单元：LF411接成电压跟随器（同相放大，增益=1），利用高输入阻抗特性隔离滤波网络与负载，避免后级电路影响滤波特性。
RC滤波网络：由两级RC结构（R1-R2-C2、C1反馈支路）组成，是实现低通滤波的核心。

2. 关键参数回顾

元件	参数	作用
R1、R2	100kΩ	与电容配合，决定频率响应
C1	112pF	反馈支路电容，参与高频衰减
C2	56pF	接地电容，决定第一级滤波特性
LF411	运放	电压跟随器，提供缓冲隔离

二、运放特性：虚短与虚断（核心前提）

在运放线性工作区，两个关键特性是分析的基础：

虚短（Virtual Short）：理想运放同相端（+）与反相端（-）电压相等，即 (V_+ = V_-)。本电路中运放接成电压跟随器，输出直接反馈到反相端，因此 (V_{out} = V_- = V_+ = V_B)（节点B电压）。
虚断（Virtual Open）：理想运放输入电流为0，因此节点B的电流仅在R2、C2支路流动，无电流流入运放同相端。

三、节点电流分析（KCL方程推导）

我们对节点A、B列交流小信号KCL方程（复频域分析，(s = j\omega)，电容阻抗 (Z_C = 1/(sC))）。

步骤1：节点B的电流方程

节点B连接R2、C2和运放同相端，根据虚断，流入运放的电流为0，因此：
[
\text{流入节点B的电流} = \text{流出节点B的电流}
]
[
\frac{V_A - V_B}{R_2} = \frac{V_B}{1/(sC_2)}
]
整理得：
[
V_A = V_B \left(1 + sR_2C_2\right) \tag{1}
]

步骤2：节点A的电流方程

节点A连接R1、R2和反馈电容C1，流入电流来自R1和C1，流出电流流向R2：
[
\frac{V_{in} - V_A}{R_1} + \frac{V_{out} - V_A}{1/(sC_1)} = \frac{V_A - V_B}{R_2}
]
结合虚短结论 (V_{out} = V_B)，代入得：
[
\frac{V_{in} - V_A}{R_1} + sC_1(V_B - V_A) = \frac{V_A - V_B}{R_2} \tag{2}
]

四、传递函数推导与“二阶”的本质

将式(1)代入式(2)，消去中间变量(V_A)，最终得到电路的传递函数：
[
H(s) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{1 + s\left(R_1C_1 + R_2C_2 + R_1C_2\right) + s^2 R_1R_2C_1C_2}
]

1. 为什么它是“二阶滤波器”？

传递函数的分母是关于(s)的二次多项式（最高次项为(s^2)），这就是“二阶”的数学本质：

一阶滤波器：分母最高次为(s^1)，对应1个RC滤波环节，高频衰减斜率为-20dB/dec。
二阶滤波器：分母最高次为(s^2)，对应2个RC滤波环节，高频衰减斜率为-40dB/dec（每十倍频程衰减40dB），比一阶滤波器的“滚降”更陡峭，滤波效果更干净。

2. 低通特性验证

低频（(s \to 0)，(\omega \to 0)）：(H(0) = 1)，信号无衰减通过。
高频（(s \to \infty)，(\omega \to \infty)）：(H(s) \propto \frac{1}{s^2} \to 0)，高频信号被强烈衰减。
因此该电路为二阶低通滤波器。

五、截止频率公式推导与实例计算

二阶低通滤波器的标准形式为：
[
H(s) = \frac{1}{1 + \frac{s}{\omega_0 Q} + \left(\frac{s}{\omega_0}\right)^2}
]
其中截止角频率(\omega_0 = 2\pi f_c)，由分母二次项系数决定：
[
\omega_0^2 = \frac{1}{R_1R_2C_1C_2}
]
因此截止频率公式为：
[
f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}
]

代入电路参数计算

已知：(R_1=R_2=100,\text{kΩ})，(C_1=112,\text{pF})，(C_2=56,\text{pF})
[
\sqrt{R_1R_2C_1C_2} = \sqrt{(10⁵⁾2 \times 112\times10^{-12} \times 56\times10^{-12}} = 7.92\times10^{-6}
]
[
f_c = \frac{1}{2\pi \times 7.92\times10^{-6}} \approx 20.1,\text{kHz}
]
与仿真中20kHz的-3dB点完全一致，验证了理论分析的正确性。