2.3 柯西积分公式【习题2.3-10】利用柯西积分公式证明，埃尔米特多项式生成函数

10.设u(x,t)=e2xt−t2，t是复数，试证∂nu(x,t)∂tn∣t=0=(−1)nex2dndxne−x2。证：左侧：∂nu∂tn∣t=0=n!2πi∮e2xt−t2tn+1dt右侧：(−1)nex2dndxne−x2=(−1)nex2n!2πi∮e−t2(t−x)n+1dt令t−x=−w，则t=x−w上式=(−1)nex2n!2πi∮e−(x−w)2(−1)n+1wn+1⋅(−1)⋅dw=(−1)nex2n!2πi∮e−x2+2xw−w2(−1)n+1wn+1⋅(−1)dw=n!2πi∮e2xw−w2wn+1dw=∂nu∂tn\begin{aligned} &10. 设u(x,t)=e^{2xt-t^2}，t是复数，试证\left.\frac{\partial^n u(x,t)}{\partial t^n}\right|_{t=0}=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}。\\ &证： \\ &左侧：\left. \frac{\partial^n u}{\partial t^n} \right|_{t=0} = \frac{n!}{2\pi i} \oint \frac{e^{2xt - t^2}}{t^{n+1}} dt\\ &右侧：(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} = (-1)^n e^{x^2} \frac{n!}{2\pi i} \oint \frac{e^{-t^2}}{(t-x)^{n+1}} dt\\ &令 t-x = -w，则 t = x - w\\ &上式 = (-1)^n e^{x^2} \frac{n!}{2\pi i} \oint \frac{e^{-(x-w)^2}}{(-1)^{n+1} w^{n+1}} \cdot (-1) \cdot dw\\ &= (-1)^n e^{x^2} \frac{n!}{2\pi i} \oint \frac{e^{-x^2 + 2xw - w^2}}{(-1)^{n+1} w^{n+1}} \cdot (-1) dw\\ &= \frac{n!}{2\pi i} \oint \frac{e^{2xw - w^2}}{w^{n+1}} dw = \frac{\partial^n u}{\partial t^n}\\ \end{aligned}​10.设u(x,t)=e2xt−t2，t是复数，试证∂tn∂nu(x,t)​​t=0​=(−1)nex2dxndn​e−x2。证：左侧：∂tn∂nu​​t=0​=2πin!​∮tn+1e2xt−t2​dt右侧：(−1)nex2dxndn​e−x2=(−1)nex22πin!​∮(t−x)n+1e−t2​dt令t−x=−w，则t=x−w上式=(−1)nex22πin!​∮(−1)n+1wn+1e−(x−w)2​⋅(−1)⋅dw=(−1)nex22πin!​∮(−1)n+1wn+1e−x2+2xw−w2​⋅(−1)dw=2πin!​∮wn+1e2xw−w2​dw=∂tn∂nu​​

这是埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）的母函数（生成函数）核心公式，属于特殊函数/数学物理方法的经典结论。

关键说明

1. 母函数定义
   埃尔米特多项式的指数型母函数：
   e2xt−t2=∑n=0∞Hn(x)n!tne^{2xt-t^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_n(x)}{n!}t^ne2xt−t2=n=0∑∞​n!Hn​(x)​tn
   其中Hn(x)H_n(x)Hn​(x)为埃尔米特多项式。

2. 与上式的关联
   对母函数两边关于ttt求nnn阶导并令t=0t=0t=0：
   ∂n∂tne2xt−t2∣t=0=Hn(x)\left.\frac{\partial^n}{\partial t^n}e^{2xt-t^2}\right|_{t=0}=H_n(x)∂tn∂n​e2xt−t2​t=0​=Hn​(x)
   而埃尔米特多项式有罗德里格斯公式：
   Hn(x)=(−1)nex2dndxn(e−x2)H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)Hn​(x)=(−1)nex2dxndn​(e−x2)

3. 应用领域

   • 量子力学：谐振子波函数
   • 概率论：正态分布的正交多项式
   • 数学物理：热方程、波动方程的特殊解