【线性代数笔记】伴随矩阵 A* 的性质汇总与还原原矩阵 A 的核心技巧
1. 伴随矩阵A∗A^*A∗的基本性质汇总
在处理线性代数综合题时，熟练记忆伴随矩阵的性质可以极大地简化运算。以下是笔记中整理的核心公式：
| 运算类型 | 恒等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 逆矩阵 | (A∗)−1=(A−1)∗(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*(A∗)−1=(A−1)∗ | 伴随的逆等于逆的伴随 |
| 转置 | (A∗)T=(AT)∗(A^*)^T = (A^T)^*(A∗)T=(AT)∗ | 伴随与转置运算可交换 |
| 数乘 | (kA)∗=kn−1A∗(kA)^* = k^{n-1} A^*(kA)∗=kn−1A∗ | 重点：系数是kkk的n−1n-1n−1次方 |
| 二阶伴随 | (A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^* = |A|^{n-2} A(A∗)∗=∣A∣n−2A | 常用于化简多重复合运算 |
2. 方法总结：从A∗A^*A∗还原AAA的逆向推导
在考试中，如果已知伴随矩阵A∗A^*A∗，要求原矩阵AAA，通过代数余子式逐个还原效率极低。笔记中给出了一套非常巧妙的**“行列式中介法”**。
【推导过程】
第一步：建立AAA与A∗A^*A∗的基本联系
根据伴随矩阵的定义：
AA∗=∣A∣EAA^* = |A|EAA∗=∣A∣E
由此可以推导出还原AAA的基本表达式：
A=∣A∣(A∗)−1A = |A|(A^*)^{-1}A=∣A∣(A∗)−1
第二步：求出待定系数∣A∣|A|∣A∣
利用行列式的性质∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*| = |A|^{n-1}∣A∗∣=∣A∣n−1，我们可以反向求出原矩阵的行列式：
∣A∣=∣A∗∣n−1|A| = \sqrt[n-1]{|A^*|}∣A∣=n−1∣A∗∣
第三步：最终还原公式
将第二步的系数代入第一步的表达式，得到：
A=∣A∗∣n−1(A∗)−1A = \sqrt[n-1]{|A^*|} (A^*)^{-1}A=n−1∣A∗∣(A∗)−1
3. 关键补充：实战避坑指南
为了让这篇博文更具高质量属性，在实际应用上述公式时，务必注意以下两点补充：
(1) 注意nnn的奇偶性（开方正负号问题）
在公式∣A∣=∣A∗∣n−1|A| = \sqrt[n-1]{|A^*|}∣A∣=n−1∣A∗∣中：
- 若n−1n-1n−1为奇数（即nnn为偶数），则∣A∣|A|∣A∣的符号由∣A∗∣|A^*|∣A∗∣唯一确定。
- 若n−1n-1n−1为偶数（即nnn为奇数），开方后理论上∣A∣=±∣A∗∣n−1|A| = \pm \sqrt[n-1]{|A^*|}∣A∣=±n−1∣A∗∣。
- 技巧：此时需要观察A∗A^*A∗的特征值或利用题干中给出的AAA的某个元素正负号来锁定唯一的∣A∣|A|∣A∣。
(2) 方法适用前提
此还原方法仅适用于AAA是可逆矩阵的情况。
- 若r(A)=n−1r(A) = n-1r(A)=n−1，则r(A∗)=1r(A^*) = 1r(A∗)=1，此时无法通过此公式还原。
- 若r(A)<n−1r(A) < n-1r(A)<n−1，则A∗=OA^* = OA∗=O。
4. 小结
通过A∗→AA^* \to AA∗→A的推导，我们发现处理矩阵问题的核心在于**“标量化”**——即先通过行列式性质求出数值，再进行矩阵运算。这比直接操作n2n^2n2个元素要高效得多。