高考题

对于定义域为$\mathbf{R}$的函数$f(x)$，记$G(f)=\{(x,y)\mid y = f(x),x\in\mathbf{R}\}$。若任取$(x,y)\in G(f)$，都有$(-y,x)\in G(f)$，则称$f(x)$为“晨晖函数”。判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”$f(x)$，使得$f(2025)=2026$。则下面说法正确的是（ ）。

A. 命题①正确，命题②正确

B. 命题①错误，命题②正确

C. 命题①正确，命题②错误

D. 命题①错误，命题②错误

【详解】命题①：根据题意$(x,y)\in G(f)$，则$(-y,x)\in G(f)$，$(-x,-y)\in G(f)$，$(y,-x)\in G(f)$，故$(x,y)\in G(f)$，一定有$(-x,-y)\in G(f)$，即$f(-x)=-y = -f(x)$，所以“晨晖函数”一定是奇函数，故命题①正确；

命题②：由$f(2025)=2026$可知，点$(2025,2026)$在函数图象上，根据“晨晖函数”定义，点$(-2026,2025)$、$(-2025,-2026)$、$(2026,-2025)$也必在函数图象上，由于这四个点的横坐标$2025$，$-2026$，$-2025$，$2026$各不相同，不违背函数的定义，故可以构造出满足条件的“晨晖函数”$f(x)$，因此存在这样的函数，命题②正确。