考察一个点集 \(S\) 拥有一条回路的充要条件，即 \(S\) 的导出子图为一个强连通分量，这也是回路存在性的通用转化。
连边形式为 \(i \to [a_i, b_i]\)，感受一下，由于区间包含 \(i\)，那么理应越靠近的点越可能处于一个强连通分量中，仔细研究一下，发现有点不对，就是可能极大强连通分量的形式并非一个连续区间，但是我们的总体方向是对的。具体而言，如果 \(i < j < k\)，若 \(i, k\) 不能直接到达，\(i, j, k\) 可能通过 \(j\) 为中继点连接，但是若 \(i, j / j, k\) 都不能到达（因为如果只有一个不可以到达可以通过将另外两个缩起来弱化限制），那么 \(i, j, k\) 三个点无论如何不能构成一个强连通分量。
此时枚举并判断 \(S\) 就有了一个简单的算法，每次看是否有两个相邻的连通块，看是否能互相到达，若能就合并，如果一次不存在这样的相邻连通块，则 \(S\) 不是一个强连通分量，可以证明合并顺序不会影响最终的判断结果。
接下来考虑设计一个 DP，\(f_{l, r, L, R}\) 表示有多少个点集 \(S\) 在 \(l, r\) 内并且 \(l, r \in S\)，\(S\) 中最小的 \(a_x = L\)，最大的 \(b_x = R\)。
固定 \(l, L\)，用总点集 \(S\) 减去不能构成强连通分量的点集 \(S\) 数量，接下来转移枚举第一段合法，然后后面的段随便选的方案数，时间复杂度 \(O(n^8/n^9)\)，可以通过。