揭秘浮点数：从数值表示到编码及特殊值处理

揭秘浮点数

尽管在日常生活中经常使用浮点数，但人们对它的理解往往比较模糊，其表现也常常让人感到困惑。其实浮点数并没有那么复杂。这篇博客文章是新推出的网站 float.exposed 的配套内容，该网站旨在成为一个检查浮点数的实用工具。这里所说的浮点数指的是无处不在的 IEEE 754 二进制浮点格式，如今使用的设备几乎都采用该格式。

数字的表示

十进制数

以数字 327.849 为例，小数点左边的数字代表 10 的递增幂次，右边的数字代表 10 的递减幂次。这种表示法存在一些缺点，如小数含零过多、大数难估计大小、末尾数字处理不节省空间等。科学记数法解决了这些问题，它将小数点移到第一个非零数字之后，并相应地设置指数，有符号、有效数字和指数三个主要部分。对于 327.849，可根据精度需求进行舍入。

二进制数

二进制数规则与十进制类似，只是基数变成 2。二进制小数点左边的数字代表 2 的递增幂次，右边的数字代表 2 的递减幂次。为避免混淆，用下标 2 表示二进制数字。二进制数也可使用科学记数法，且用科学记数法表示的每个非零二进制数都以 1 开头，可根据精度需求进行舍入。理解这些内容，就掌握了浮点数的工作原理。

浮点数

浮点数采用二进制科学记数法表示，但有效数字的位数和指数的范围有限。不同的浮点类型具有不同的有效数字位数和允许的指数范围，如 `float` 类型有 24 位二进制有效数字，指数范围是 [-126, +127]。由于有效数字位数和指数值的限制，一些实数可能无法用浮点数精确表示，一些非常大或非常小的数也无法用 `float` 表示。

编码

符号位

符号位只需 1 位来表示数字是正数还是负数，IEEE 754 规定正数用 `0` 表示，负数用 `1` 表示。

有效数字

`float` 类型的有效数字需要 24 位，二进制有效数字的第一位总是 1，为节省一位，该格式省略了这一位，这一位通常被称为“隐含位”，直接复制剩下的 23 位，并在末尾用 0 补齐。

指数

由于 `float` 的指数范围是 [-126, +127]，共有 254 个可能的值，需要 8 位来存储。为避免对负指数值进行特殊处理，加上 127 作为偏移量，确保编码后的指数不为负数。对于具体的数，将指数加上 127 得到编码的指数。

组合在一起

将符号位放在首位，然后是指数位，最后是有效数字位，组合起来得到一个 `float` 类型的数。可使用 LLDB 进行检查。虽然 C 和 C++ 标准在技术上并不要求 `float` 或 `double` 必须采用 IEEE 754 格式，但后续内容将合理假设它们采用该格式。对于几乎任何数字，都可采用同样的方法进行编码，但有些数字需要特殊处理。

特殊值

浮点数分布图

通过可视化的方式展示所有特殊值，每个点代表一个唯一的正 `float` 值。图中对大部分指数和大量有效数字值进行了截断处理。

零

偏移指数值为 0 且有效数字全为 0 的 `float` 数被解释为正零或负零，符号位的值决定是正零还是负零。浮点标准同时定义了 +0.0 和 -0.0，能告诉我们 0 是从哪个“方向”得到的。在处理零值时，`0.0 == -0.0` 为真，`-0.0 + 0.0` 等于 `0.0`，默认情况下，编译器不能将 `a + 0.0` 优化为 `a`，但可设置标志放宽严格的一致性检查。

无穷大

偏移指数值为最大值且有效数字全为 0 的 `float` 数根据符号位的值被解释为正无穷大或负无穷大。无穷大通常是由于对超出类型表示范围的值进行舍入而产生的，也可直接使用宏 `INFINITY`。正零和负零在运算中有作用，涉及“有限”数字和无穷大的运算有明确定义，遵循常识。