Godot主要架构：坐标系变换数学基本原理1：Transform坐标系矩阵
前言: 本篇文章是 针对Godot(2D)游戏架构的研究_godot(2d)最佳架构-CSDN博客 中架构细分系列3 Godot(2D)架构细分3: 四大坐标系重点内容解释与使用_godot坐标系-CSDN博客 中对矩阵数学基本知识的具体解释。本篇文章将会从与Transform矩阵有关的线性代数的基础知识开始讲起，到证明完坐标系转换公式
本文章中所使用的Godot内容都在主架构研究中的架构细化系列中解释过，可以返回主架构文章浏览
解释顺序
1. 矩阵坐标系的构建
2. 坐标系转化的公式以及证明
1. 矩阵坐标系的构建
1. 前提基本理论
在数学坐标系中，最普通二维的坐标系有X，Y轴，如图
这里先使用向右为X轴正半轴，向上为Y轴正半轴
在 Godot 的 Transform 体系中，我们始终需要一个固定不变的坐标参考系，所以我们现在要做的事情是，将一个没有经历任何变换的普通二维坐标系，作为我们的参考坐标系，我这里叫它绝对坐标系 。
而Godot中任何节点的局部坐标系，本质都是在绝对坐标系的基础上经过旋转，偏移，缩放而来的新坐标系
这时候我们需要知道这些概念:
1. 向量(Vector) :向量是既有大小又有方向的量。二维的有两个值X和Y，长度是对两个值使用勾股定理(a² + b² = c²)后得到的量。如果向量出发点在(0, 0)，则方向是从 (0, 0) 指向 (X, Y)的方向。
以下向量都将使用VectorA(X, Y)表示，其中A是维度，比如二维向量为Vector2(X, Y)
2. 单位向量：长度为1的向量
3. 方向向量 :方向向量是一个与直线平行的非零向量，用于表示空间中某个特定方向。比如从Vector2(0, 0)出发的向量Vector(1, 0)代表绝对坐标系的正半轴(X轴)。下文的各个坐标系的轴的表示，均使用单位方向向量，用来表示纯方向。
4. 三角函数的几何意义: 三角函数是数学中一类关于角度的函数，在几何意义上是：在单位圆中，且以原点为圆心、以 X 轴正半轴为始边的角 θ 的射线与单位圆的交点坐标，可以直接由三角函数给出: (cosθ, sinθ)，其中 cosθ 对应交点的 x 坐标，sinθ 对应交点的 y 坐标。
如图，可以看到，我们使用了30度的旋转角，使用三角函数表示出了它的坐标。
三角函数其他角度的值可以通过网上查阅或者计算机计算获得。
2. 构建矩阵坐标系
构建矩阵坐标系(局部)，本质上是使用绝对坐标系来表示局部坐标系的 X轴 和 Y轴的坐标。比如绝对坐标系本身的X轴，可以使用Vector2(1, 0)来表示，而Y轴，可以使用 Vector2(0, 1) 来表示。
这也就是说，绝对坐标系本身的X轴，它的方向是 Vector2( cos0°, sin0° ) = Vector2( 1 , 0 )
绝对坐标系本身的Y轴，它的方向是 Vector2( cos90° , sin90° ) = Vector2( 0 , 1 )
那么局部坐标系的构建就很好理解了，比如我将原点与绝对坐标系重合的局部坐标系的轴，相对绝对坐标系逆时针旋转 45°，则由以绝对坐标系原点为圆心的单位圆上表示的 X轴 和 Y轴 的坐标就为
1.X = Vector2( cos( 0° + 45° ) , sin( 0° + 45° ) )
2.Y = Vector2( cos( 90° + 45° ) , sin( 90° + 45° ) )
如图，可以看到，局部坐标系的X，Y轴，都被绝对坐标系用三角函数给表示出来了。
现在我们将局部坐标系的旋转角度变为θ，则同上，局部坐标系在绝对坐标系中的表示为:
1. X = Vector2( cos( 0° + θ ) , sin( 0° + θ ) )
2. Y = Vector2( cos( 90° + θ ) , sin( 90° + θ ) )
注意：以下角度将使用弧度制单位，其中π 等价于 180°
此时为了方便使用 θ 来统一表示，我们对局部坐标系的Y轴的坐标的X和Y使用诱导公式：
cos( π/2 + α ) =－sinα，sin( π/2 + α ) = cosα(诱导公式)
得到：
1.X = Vector2( cosθ, sinθ )
2.Y = Vector2( -sinθ , cosθ )
这时候我们就得到了局部坐标系相对于绝对坐标系用弧度(或者角度)旋转的坐标系表示。但是此时局部坐标系X和Y轴的表示是分开的，为了方便计算机统一计算，我们需要将局部坐标系的X和Y轴的表示统一到一个变量里面去，这时候可以构建2x2矩阵
首先看放进去的矩阵
注意：这里θ矩阵中打不出来，用 A 代替 θ
那么刚刚得到的坐标转化成矩阵就是
现在我们就构建了一个基础的坐标系矩阵，但是这个矩阵只能表示坐标系的旋转，或者是改变坐标系X和Y轴的夹角来控制坐标系的缩放，还不能表示位置。
这时候我们需要对该矩阵增广一列物体的相对位置(Vector2坐标)，这就是Godot中的Transform(2D)的形式
第3列的值就是Godot(2D)中的origin的值，它是子节点相对父节点的位置(position)，是一个二维向量(Vector2)
但是需要注意的是，Godot中transform增广矩阵的origin列不参与矩阵运算，即使数学上支持矩阵齐次运算(2x3矩阵与三维向量的相乘)，Godot 也仍然会将 transform(2D) 按照 2x2 基底 + Vector2向量的运算法则分开计算。
(矩阵运算下文会解释)
2. 矩阵坐标系之间的变换证明
1. 前提基本矩阵理论
1. 方阵
矩阵中行数和列数相等的矩阵，称为方阵。
2. 行列式
行列式的原始定义：对任意行数与列数相等的方阵，按照固定的排列组合运算规则，能唯一计算出一个常数，这个常数就称为该方阵的行列式。符号表示:∣A∣
二阶行列式（2×2）用双竖线表示，内部元素按二行二列格式排列。
行列式最终运算结果只是一个数值。
对于二阶行列式：
它的值为ad - bc
3. 伴随矩阵
伴随矩阵仅针对方阵定义：把方阵中每一个元素替换为对应的代数余子式，再将整体矩阵进行转置，最终得到的新矩阵就是原矩阵的伴随矩阵，记作 A∗。
对于我们即将使用的二阶方阵，有简便求解规则：主对角线元素互换位置，副对角线元素正负取反，即可直接写出伴随矩阵。
矩阵，则它的伴随矩阵为
。
4. 逆矩阵
逆矩阵是n阶方阵A对应的矩阵B，满足AB=BA=E（E为单位矩阵），此时A称为可逆矩阵，B为A的唯一逆矩阵，记为A⁻¹。单位矩阵的逆矩阵为其本身，零矩阵不可逆。
注:单位矩阵是方阵，其主对角线上的元素均为1，其他所有元素均为0
5. 逆矩阵与伴随矩阵公式
利用伴随矩阵和行列式，可以求解方阵的逆矩阵。
通用公式为：逆矩阵 = 行列式的倒数 乘以 伴随矩阵
记作：A⁻¹ = 1/∣A∣ 乘 A∗
只有当矩阵的行列式不为 0 时，矩阵才可逆，存在逆矩阵；若行列式为 0，则矩阵不可逆，无法求解逆矩阵。
2. 验证变换公式
注意: 以下的验证使用Godot中的坐标系，X轴向右为正，Y轴向下为正。
Godot中逆时针旋转局部旋转使用的是视觉上的旋转。
Y轴向下的坐标系的矩阵公式为
这里首先明确情况:
1. 有两个物体, A和B
2. A与B为兄弟节点关系(同层关系)
3. A的坐标系已经相对绝对坐标系逆时针旋转π / 4
4. B的坐标系和绝对坐标系一致，不旋转
以下是图片表示(以下矩阵内的内容为真实值，验证公式需要计算完成后使用真实值对比)
B在这里是单位矩阵
这里给出已知条件
世界坐标 = A.transform × A 局部坐标
我们需要验算将B的坐标系矩阵表示从绝对坐标系表示转化到使用A坐标系表示的转化公式
A.transform.inverse() * B.transform
其中A.transform.inverse()是 A 坐标系变换矩阵的逆矩阵，B.transform是 B 在世界坐标系下的完整变换矩阵。
1. 验证:A.transform.inverse() * B.transform
我们将通过计算公式得到的B的坐标系在A中的矩阵表示，来对比真实表示来验证等式
先求逆矩阵
A⁻¹ = 1/∣A∣ 乘 A∗
其中 1/∣A∣ = 1 / { cos(π/4) * cos(π/4) - [-sin(π/4)] * sin(π/4) } = 1
A∗ =(这里因为打不了π和°，直接用数字代替，指45°)
所以A⁻¹ =
这里直接乘以B的坐标矩阵(单位矩阵)
可以直接得到B对A矩阵
这里我们可以发现与B真实的B对A的矩阵式一样的，但这里是单位矩阵的特例，只是一个验算，完整的证明将角度换成未知量即可
另外需要注意的是，对矩阵坐标系运算的时候，origin并不参与矩阵运算，只有前面 2x2 的非增广矩阵参与。
补充
Godot 的 Transform 包含线性矩阵和 origin 平移两部分，本文主要讨论线性部分的矩阵运算，origin由引擎的affine_inverse()自动处理。
在Godot中完整的坐标系的坐标系计算是仿射变换，为
世界坐标 = 线性矩阵 × 局部坐标 + origin
反过来，从世界坐标转局部坐标时，需要先用逆矩阵抵消线性部分，再减去平移的影响：
局部坐标 = A.transform.affine_inverse().xform(世界坐标)
总结
本篇文章对 Godot(2D)架构细分3: 四大坐标系重点内容解释与使用_godot坐标系-CSDN博客 中坐标系变换的线性部分的矩阵运算进行了详细解释与推导，有助于了解Godot中四大坐标系。
同时，Godot 3D 的 Transform 变换原理，也可以套用本文同一套线性代数与坐标系构建思路去理解，具备通用参考价值。
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