实直线上的连通子空间
定义 连通性：设 \((X,\mathcal{T})\) 为拓扑空间，如果存在一对不交的非空开集 \(U,V\)，它们的并为 \(X\)，则称 \((X,\mathcal{T})\) 是非连通的. 否则称 \((X,\mathcal{T})\) 是连通的.
等价地，一个空间 \((X,\mathcal{T})\) 是连通的当且仅当既是开集也是闭集的集合只有 \(\varnothing,X\).
定义 设 \((L,\le)\) 是一个多于一个元素的全序集，并且满足：
(1) \(L\) 有上确界性质：\(L\) 的每个非空子集的上确界存在.
(2) 若 \(x<y\)，则存在 \(z\) 使得 \(x<z<y\).
则称 \((L,\le)\) 为一个线性连续统.
定义 设 \((L,\le)\) 是全序集，如果 \(L\) 的子集 \(Y\) 满足对于所有 \(x,y\in Y,x<z<y\)，都有 \(z\in Y\)，则称 \(Y\) 为凸集.
定理 若 \(L\) 是一个赋予序拓扑的线性连续统，则 \(L\) 的每一个凸子集 \(Y\) 都是连通的.
证明
反证，设 \(Y\) 是两个非空开集 \(A,B\) 的不交并，取 \(a\in A,b\in B\)，不妨 \(a<b\)，则 \([a,b]\subseteq Y\).
所以 \([a,b]\) 是两个非空（\(a\in A,b\in B\)）开集（相对于 \([a,b]\) 而言） \(A_0=A\cap[a,b],B_0=B\cap[a,b]\) 的不交并.
令 \(c=\sup A_0\)，下面证明 \(c\not\in A_0,B_0\)，从而推出矛盾.
情况 1. \(c\in A_0\)，则 \(c=a\) 或 \(a<c<b\). 因为 \(A_0\) 是 \([a,b]\) 中的开集，所以存在 \(d\) 使得 \([c,d)\subseteq A_0\). 由 \(L\) 为线性连续统，知存在 \(c<e<d\). 于是 \(e\in A_0\)，与 \(c\) 为上确界矛盾.
情况 2. \(c\in B_0\)，则 \(c=b\) 或 \(a<c<b\). 因为 \(B_0\) 是 \([a,b]\) 中的开集，所以存在 \(d\) 使得 \((d,c]\subseteq B_0\).
若 \(c=b\)，立刻推出矛盾，因为 \(d\) 是一个比 \(c\) 还小的 \(A_0\) 的上界.
若 \(a<c<b\)，由于 \(c\) 为 \(A_0\) 上界，故 \((c,b]\cap A_0=\varnothing\). 于是 \((d,b]=(d,c]\cup(c,b]\) 与 \(A_0\) 不交，同样有 \(d\) 是一个比 \(c\) 还小的 \(A_0\) 的上界，矛盾.