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HNU计算机系统期中复习（下）

news 2026/4/28 17:04:18

一：数据的机器级表示

1.1 整数

（1）有符号数和无符号数表示

做一道题：

某32位机器，考虑以下C代码：

int x = -1; unsigned u = 2147483648; printf("x = %u = %d\n", x, x); printf("u = %u = %d\n", u, u);

在32位机器上运行上述代码时，它的输出结果是什么？为什么？

输出结果

x = 4294967295 = -1 u = 2147483648 = -2147483648

变量x的分析

int x = -1;

在32位补码表示中，-1的二进制是1111...1111（32个1）。

- 用%d（有符号十进制）解释：按补码规则，这就是-1。
- 用%u（无符号十进制）解释：所有位都是1，对应无符号最大值 (2^{32}-1 = 4294967295)。

变量u的分析

unsigned u = 2147483648;

(2147483648 = 2^{31})，二进制表示为1000...0000（首位为1，后31位为0）。

- 用%u（无符号十进制）解释：这就是 (2^{31} = 2147483648)。
- 用%d（有符号十进制）解释：按补码规则，首位为1表示负数，其值为 ( -2^{31} = -2147483648 )（32位有符号数的最小值TMin）。

总结：同一个32位二进制比特序列，解释为有符号数和解释为无符号数，会得到完全不同的数值。printf的格式控制符（%d/%u）决定了如何解释内存中的比特位，而不是变量本身的类型。当表达式中同时含有无符号整数和有符号整数的时候，int转成无符号数。

（2）整数的拓展和截断

拓展：

就是把符号位不断复制到高位：

截断

1.核心概念

截断，是指将一个位数较长的整数转换为位数较短的整数时，直接截取其二进制低位部分，高位被丢弃的操作。

无论是无符号数还是有符号数，本质上都是二进制位被截取。
截断后，同样的二进制序列需要按新的类型重新解释，因此数值意义与之前不同。

2.无符号数截断规则

本质：取模运算（mod）

对于一个w位的无符号数x，截断为k位（k < w）时，结果等于x mod 2^k。

逻辑：丢弃高位，只保留低k位，结果按无符号数重新解释。

3.有符号数截断规则

本质：类似取模运算，先按无符号数截断（取低k位），再按有符号数（补码）重新解释这个k位的二进制序列
结果：数值可能发生巨大变化，甚至变成负数。

5.、案例解析

int x = 53191; short sx = (short)x; /* -12345 */ int y = sx; /* -12345 */

第一步：int x = 53191（32位有符号数）

十进制53191的16位二进制表示为：1100111111000111
高16位为0，低16位如上。

第二步：截断为short（16位有符号数）

直接截取低16位：1100111111000111
按16位补码解释：最高位为1，代表负数。

其值为：-12345，和注释一致。

第三步：int y = sx（16位→32位）

这一步是符号位扩展，将16位的-12345扩展为32位有符号数，数值保持不变，所以y还是-12345。

核心总结

截断 = 丢弃高位，只留低位。
无符号数：x mod 2^k
有符号数：先截断，再按补码解释，数值可能“突变”。
符号位扩展（short→int）不会改变数值，而截断（int→short）才会导致数值变化。

（3）整数的运算

无符号数加法：

补码加法：

本质和无符号数是一样的，只是会按照补码的规则去解读这个最后结果，会发生正溢出和负溢出

减法：

本质就是补码相加

无符号数乘法：

有符号数乘法

和无符号一样的，只是解读解结果会按照有符号解读

这里补充一下移位乘法

除法：

被除数是负数的时候，需要矫正，最后结果需要加一，被除数是正数的时候不需要修整

1.2 浮点数

二进制小数表示：

限制只能精确表达1/2的倍数

IEEE浮点数表示：

（1）规格化数：

Exp不等于全0或者全1

解决下面这个问题：

我们知道有13位，所以是E=13，然后固定的Bias是127，得到Exp

（2）非规格化数：

exp=000……0；

阶码值E=-Bias+1；尾数：M=0.xxxx

阶码`exp`	尾数`frac`	符号`s`	含义
全 1	全 0	0	`+∞`
全 1	全 0	1	`-∞`
全 1	非全 0	任意	`NaN`

（3）舍入

1. 向偶数舍入（默认 / 银行家舍入）
规则：舍入到最近可表示数；
若刚好居中，取最低位为偶数的那个。
特点：IEEE754 默认方式，误差最均衡、累计误差小。
2. 向零舍入（截断）
规则：直接砍掉多余位，向原点靠拢。
正数向下、负数向上，本质就是直接截断。
3. 向下舍入（向负无穷）
规则：无论正负，统一取更小的数。
4. 向上舍入（向正无穷）
规则：无论正负，统一取更大的数。