数据结构基础------初识二叉树

数据结构-------二叉树

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。我们把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是根朝上，叶在下。

特点:

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱节点。

2.除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一棵与数类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。因此，数是递归定义的。

注:在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

那么我们如何判断什么样的结构不是树形结构呢？

1. 子树是不相交的(如果存在相交就是图了)
2. 除了根节点外，每个结点有且只有一个父结点
3. 一棵N结点的数有N-1条边

如图所示:

以上为非树形结构

接下来我们来了解一下数的相关术语

**父结点/双亲结点：**若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
**子结点/孩子结点：**一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

结点的度：一个结点有几个孩子，他的度就是多少；比如A的度为6，F的度为2，K的度为0
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6

叶子结点/终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点

分支结点/非终端结点:度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)；如上图：B、C是兄弟结点结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

路径：一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列；比如A到Q的路径为：A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.2树的表示

树结构相对线性表来说比较复杂，要存储表示起来就比较麻烦，既要保持值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方法如**:双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。在这里就简单了解其中最常用的孩子兄弟表示法**。

structTreeNode{structNode*child;//左边开始的第一个孩子结点structNode*brother;//指向其右边的下一个兄弟结点intdata;//结点中的数据域}

其表示方法如下图:

1.3树形结构的实际运用场景

文件系统是计算机存储和管理文件的一种方式，它**利用树形结构来组织和管理文件和文件夹。**在文件系统中，树结构被广泛应用，它通过父结点和子结点之间的关系来表示不同层级的文件和文件夹之间的关联。

2.二叉树

2.1概念与结构

在树形结构中，我们最常用的就是二叉树，一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根节点加上两块别称为左子树和右子树的二叉树组成或为空。

如图:

二叉树有以下特点:

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2特殊的二叉树

在二叉树中我们又有一些特殊的二叉树，一个是满二叉树，一个是完全二叉树。

2.2.1满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是(2^k)-1,则为满二叉树。

2.2.2完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

完全二叉树具有以下特点:

1. 除了最后一层，每层结点个数达到最大
2. 最后一层结点个数不一定达到最大(达到最大则为满二叉树，也可以为完全二叉树)
3. 结点从左到右依次排序(最后一层如果是右结点则不是完全二叉树)

以下为它们的关系图：

二叉树性质

根据满二叉树的特点可知：

1. 若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 **2^{i-1}**个结点

2. 若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是2^{h} - 1

3. 若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 h = log₂(n + 1)（log 以2为底， n+1 为对数）

2.3二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种是顺序结构，一种是链式结构。

2.3.1顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，完全二叉树更适合使用顺序结构存储。

现实中我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2.3.2链式结构

二叉树的链式结构是指用链表来表示二叉树，通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，即数据域和左右指针域，左右指针分别指向该节点的左右孩子所在的链结点的地址。

以上就是二叉树的基本概念，这里我们先基础了解一下什么是二叉树，在后续如何实现二叉树我会再出一篇博客去介绍如何实现二叉树