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关于图论的知识点的总结(始于2026.4.28//

边权

比如有两个点计为u,v,那么\(u \to v\)或者是\(v \to u\)所花费的代价(或者也可以叫做距离)计为w,那么w就是我们所说的边权

入度出度

他们是有向图的概念,用来描述一个顶点与其它顶点之间边的方向关系。

入度: 是指指向某点的边的数量,假设有三点\(A,B,C\)其中$A \to B $ ,$ A \to C $ ,那么\(B和C\)入度都为1因为只有\(A\)指向它们各一条边,所以\(A\)出度2

什么是有向图 ,什么是无向图

无向图

边的含义:边是无方向的,仅表示两个顶点之间互相连通的关系。如果顶点A和B之间有一条边,你可以从A走到B,也可以从B走到A。

边的表示:用不带箭头的线段,或一对无序的圆括号表示,例如 (A, B) 与 (B, A) 表示同一条边。

度的概念:顶点只有度,即与该顶点相连的边的总数。

有向图

边的含义:边是有方向的,表示一种单向的关系。一条从A指向B的边,意味着只能从A走到B,通常不能反过来从B走到A。

边的表示:用带箭头的线段,或一对有序的尖括号表示,例如 <A, B> 表示从A到B的边,<B, A> 则表示从B到A的边,这是两条不同的边。

度的概念:顶点有入度(指向它的边数)和出度(从它指出的边数)

关于在使用dijkstra算法求解最短路时

我们会遇到两种情况(作者是一枚萌新刚刚学这个算法只遇到这两种,如有更多请指出!)

1. 当会出现重边时 我们推荐用邻接矩阵来写

原理:用一个 n x n 的二维数组(矩阵)来表示图,其中 n 是顶点的数量。

矩阵的行 i 和列 j 都代表顶点(通常编号为 0, 1, 2, ...)。

对于无向图:如果顶点 i 和顶点 j 之间有边,则 matrix[i][j] = 1 且 matrix[j][i] = 1。

对于有向图:如果存在一条从 i 指向 j 的边,则 matrix[i][j] = 1。

如果边有权重,就把 1 换成具体的权值,没有连接的地方通常用 0 或无穷大表示

2. 当不会出现重边时 我们推荐用邻接表来写(仅仅适用于数据范围较小的情况)其实一般还是推荐用邻接表写

原理:为每个顶点维护一个列表(链表、动态数组等),列表中存储该顶点所有直接邻居。

通常使用一个长度为 n 的数组(或哈希表)adj,其中 adj[i] 是一个列表。

对于无向图:一条边 (i, j) 会在 i 的列表中加入 j,并在 j 的列表中加入 i。

对于有向图:一条边$i \to j $ ,只在 i 的列表中加入 j。

如有错误或可以润色的地方请大佬们指出,我将感激不尽!

http://www.jsqmd.com/news/720717/

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