第四章 第三节 一致有界原则
Baire 纲定理
定义（疏集）
设 \((X,d)\) 是距离空间，\(E\subset X\)。如果 \(E\) 不在 \(X\) 的任何非空开集中稠密，则称 \(E\) 是疏集。
注
- 对于 \(X\) 中的任何一个点，总能在他周围找到无法用疏集 \(E\) 中的点列逼近的点；换句话说，无法用 \(E\) 中点列逼近的点在 \(X\) 中“到处”都有。
- 疏集 \(E\) 中没有内点。事实上，若 \(x\in E\) 是内点，即存在 \(S(x,r)\subset E\)，则 \(E\) 在 \(S(x,r)\) 中稠密。
- Cantor 集是疏集。事实上，Cantor 集没有内点。
定义（第一与第二纲集）
若集合 \(E\) 可以表示成至多可数个疏集的并，即
其中 \(E_n\) 是疏集 \((n=1,2,\cdots)\)，则称 \(E\) 是第一纲集。不是第一纲集的集合称为第二纲集。
定理（Baire 纲定理）
完备的距离空间是第二纲集。
证明
反证法：假如不然，则
其中 \(E_n\ (n=1,2,\cdots)\) 是疏集。于是
- 对于任何开球 \(S\)，\(E_1\) 在 \(S\) 中不稠密，即存在 \(S\) 中的点 \(x_1\notin\overline{E_1}\)，由于 \(S\) 是开集，所以存在一个以 \(x_1\) 为球心半径小于 \(1\) 的闭球 \(\overline{S_1}\subset S\)，使得\[\overline{S_1}\bigcap E_1 = \varnothing. \]
- 同样，\(E_2\) 在 \(S_1\) 中不稠密，即存在 \(S_1\) 中的点 \(x_2\notin\overline{E_2}\)，存在一个以 \(x_2\) 为球心半径小于 \(1/2\) 的闭球 \(\overline{S_2}\subset \overline{S_1}\)，使得\[\overline{S_2}\bigcap E_2 = \varnothing. \]
- 一直做下去，我们得到闭球套\[\overline{S_1}\supset \overline{S_2}\supset\cdots\supset \overline{S_n}\supset\cdots, \quad \text{且 } \overline{S_n}\bigcap E_n = \varnothing, \]以及 \(\overline{S_n}\) 的半径 \(r_n < \frac{1}{2^{n-1}}\)。
- 因 \(X\) 完备，\(r_n\to 0\)，由闭球套定理（只有完备空间才有这个定理）知存在唯一的点\[x_0\in X,\quad x_0\in \bigcap_{n=1}^{\infty} \overline{S_n}. \]
但 \(\overline{S_n}\bigcap E_n = \varnothing\)，由于 \(\forall n\)，\(x_0\in \overline{S_n}\)，所以 \(x_0\notin E_n\)，这与 \(X = \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\) 矛盾。所以 \(X\) 不是第一纲集，即 \(X\) 是第二纲集。 \(\square\)
推论
Banach 空间是第二纲集。
注
设 \(E\) 是定义在 \([0,1]\) 上的全体处处不可微的连续函数组成的集合，则 \(E\) 是非空的，且 \(E\) 的补集 \(C[0,1]\setminus E\) 是第一纲集。
此例表明：点点都连续可微的函数在连续函数空间中仅仅是包含在第一纲集中，或者是说“相对比较少”。点点连续、点点不可微的函数是非常之多的，这与我们的“直观感觉”并不相同。
一致有界原则
定理 4.3.7 (Banach–Steinhaus 一致有界原则)
设 \(\{T_\alpha \mid \alpha\in I\}\) 是 Banach 空间 \(X\) 上到赋范空间 \(X_1\) 中的有界线性算子族。如果对于 \(\forall x\in X\)，
则 \(\{\|T_\alpha\| \mid \alpha\in I\}\) 是有界集。
注
定理表明，若对任意的 \(x\in X\)，存在 \(M_x > 0\)，使得\[\|T_\alpha x\| \leq \sup_{\alpha\in I} \|T_\alpha x\| = M_x < \infty, \]则存在一个共同的 \(M\)，使得
\[\|T_\alpha\| \leq M,\quad \forall \alpha\in I. \]简言之，点点有界 \(\Rightarrow\) (范数) 一致有界。
上述定理的逆否命题称为共鸣定理：
定理（共鸣定理）
如果 \(\{T_\alpha \mid \alpha\in I\}\) 是 Banach 空间 \(X\) 上到赋范空间 \(X_1\) 中的有界线性算子族，\(\sup_{\alpha\in I} \|T_\alpha\| = \infty\)，则存在 \(x_0\in X\)，使得
注（证明思路）
- 目标：证明 \(\{T_\alpha\}\) 的范数有一个共同的上界（即一致有界）。
- 条件：\(\sup_{\alpha} \|T_\alpha x\| < \infty\)，即 \(\forall x\in X\)，\(\exists M_x > 0\)，使得 \(\|T_\alpha x\| \leq M_x\)。
- 要证明：存在共同的 \(M\)，使得 \(\|T_\alpha\| \leq M\)，即 \(\forall x\in X\)，\(\forall \alpha\)，\(\|T_\alpha x\| \leq M\|x\|\)。
- 步骤：
- 首先证明 \(\{T_\alpha\}\) 在以原点为中心的一个小的闭球上一致有界，即存在 \(M > 0\)，使得
\[\|T_\alpha x\| \leq M,\quad \forall x\in \overline{B(0,r)},\ \forall \alpha. \]- 根据算子的线性性，\(\forall x\in X\)，由 \(\left\|T_\alpha \left(\frac{rx}{\|x\|}\right)\right\| \leq M\)，推出
\[\|T_\alpha x\| \leq M r^{-1} \|x\|, \]即在全空间上一致有界。- 针对 (1) 的证明：
- (a) 考虑 \(M_k = \{x \mid \|T_\alpha x\| \leq k,\ \forall \alpha\}\)。由条件 \(X = \bigcup_{k=1}^\infty M_k\)。因 \(X\) 完备（第二纲），存在 \(k_0\) 使得 \(M_{k_0}\) 不是疏集，从而在某非空开集 \(G\) 中稠密。
- (b) 存在闭球 \(\overline{B}\subset G\)，使 \(M_{k_0}\) 在 \(\overline{B}\) 中稠密，由于每个 \(M_k\) 是闭集，有 \(\overline{B}\subset M_{k_0}\)，即 \(\{T_\alpha\}\) 在 \(\overline{B}\) 上一致有界（界为 \(k_0\)）。
- (c) 将 \(\overline{B}\) 平移到以原点为中心的闭球，利用线性性质得到在 \(\overline{B(0,r)}\) 上一致有界。
证明
-
证明 \(\{T_\alpha\}\) 在以原点为中心的一个小的闭球上一致有界
- (i) 对于 \(k\in \mathbb{N}_+\)，令\[M_k = \left\{x\in X \mid \sup_{\alpha\in I} \|T_\alpha x\| \leq k\right\} = \bigcap_{\alpha\in I} \left\{x\in X \mid \|T_\alpha x\| \leq k\right\}. \]由条件，\(\forall x\in X\)，\(x\) 属于某个 \(M_k\)，故 \(X = \bigcup_{k=1}^\infty M_k\)。
因 \(X\) 是 Banach 空间（第二纲），存在 \(k_0\) 使 \(M_{k_0}\) 不是疏集，即存在非空开集 \(G\) 使得 \(G\subset \overline{M_{k_0}}\)。 - (ii) 取 \(x_0\in G\)，存在闭球 \(\overline{B} = \{x\mid \|x-x_0\|\leq r\}\subset G\)，则 \(M_{k_0}\) 在 \(\overline{B}\) 中稠密。
由于每个 \(\{x\mid \|T_\alpha x\|\leq k\}\) 是闭集，\(M_k\) 也是闭集，因此\[\overline{B}\subset \overline{M_{k_0}} = M_{k_0} = \left\{x\mid \sup_{\alpha}\|T_\alpha x\|\leq k_0\right\}. \]即 \(\forall x\in \overline{B}\)，\(\forall \alpha\)，有 \(\|T_\alpha x\|\leq k_0\)。 - (iii) 考虑以原点为中心的闭球 \(\overline{B_0} = \{x\mid \|x\|\leq r\}\)。对任意 \(x\in \overline{B_0}\)，有 \(x+x_0\in \overline{B}\)，从而\[\|T_\alpha x\| \leq \|T_\alpha(x+x_0)\| + \|T_\alpha x_0\| \leq 2k_0,\quad \forall \alpha. \]因此 \(\{T_\alpha\}\) 在 \(\overline{B_0}\) 上一致有界（界为 \(2k_0\)）。
- (i) 对于 \(k\in \mathbb{N}_+\)，令
-
根据线性性，推广到全空间
对任意 \(x\in X\)，有 \(\frac{rx}{\|x\|}\in \overline{B_0}\)，故\[\left\|T_\alpha\frac{rx}{\|x\|}\right\|\leq 2k_0, \]从而 \(\|T_\alpha x\| \leq 2k_0 \|x\|/r\)。
于是 \(\|T_\alpha\| \leq 2k_0/r = M\)，即 \(\sup_{\alpha}\|T_\alpha\|\leq M<\infty\)。 \(\square\)
注
- 一致有界原则也可以由范数等价的定理推出。
- 定理中的条件 \(X\) 是 Banach 空间，实际上只用到了 \(X\) 是第二纲集，因此条件可以减弱为 \(X\) 是第二纲集。
- 算子的线性性质在这里很重要。如果没有线性性质，结论会大大减弱：设 \(\mathcal{F}\) 是完备距离空间 \(X\) 上的实连续函数族，且对 \(\forall x\in X\) 存在 \(M_x>0\) 使得 \(|f(x)|\leq M_x\)，则存在开集 \(U\) 及 \(M>0\)，使得 \(\forall x\in U\)，\(f\in\mathcal{F}\) 有 \(|f(x)|\leq M\)（即在 \(U\) 上一致有界）。因为缺乏线性，证明的步骤 (1)(iii) 无法进行，只能证到 (1)(ii)。
一些推论
- 设 \(X\) 是 Banach 空间，\(\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}\) 是 \(X\) 上的有界线性泛函族。若对每个 \(x\in X\)，\(\sup_{\alpha}|f_\alpha(x)|<\infty\)，则 \(\{\|f_\alpha\|\}_{\alpha\in I}\) 是有界集。
- 当 \(I\) 可数时，\(X\) 是 Banach 空间，\(\{f_n\}\) 是 \(X\) 上的有界线性泛函，若 \(\forall x\in X\)，\(\sup_n|f_n(x)|<\infty\)，则 \(\sup_n\|f_n\|<\infty\)。
- 当 \(I\) 可数时，\(X\) 是 Banach 空间，\(\{f_n\}\) 是 \(X\) 上的有界线性泛函，若 \(\sup_n\|f_n\|=\infty\)，则存在 \(x_0\in X\) 使得 \(\sup_n|f_n(x_0)|=\infty\)。
强收敛意义下的完备性
定理
设 \(X, X_1\) 是 Banach 空间，则 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 在强收敛的意义下完备。即：如果
- \(T_n \in \mathcal{B}(X, X_1)\)；
- 对任意 \(x\in X\)，\(\{T_n x\}\) 是 \(X_1\) 中的 Cauchy 列，
则存在 \(T\in\mathcal{B}(X, X_1)\)，使得 \(T_n \stackrel{\text{强}}{\to} T\)（即 \(\forall x\in X\)，\(T_n x\to T x\)）。
证明
- 构造线性算子 \(T\)：
对每个 \(x\in X\)，由于 \(X_1\) 完备，\(\{T_n x\}\) 收敛，定义 \(T x = \lim_{n\to\infty} T_n x\)。易证 \(T\) 是线性的。 - 证明 \(T\) 有界：
由条件，\(\forall x\in X\)，\(\sup_n \|T_n x\| < \infty\)。因 \(X\) 是 Banach 空间，由一致有界原则，\(\{\|T_n\|\}\) 有界，设 \(\|T_n\|\leq M\)。则\[\|T x\| = \lim_{n\to\infty} \|T_n x\| \leq M\|x\|, \]故 \(T\in\mathcal{B}(X, X_1)\) 且 \(\|T\|\leq \varliminf_{n\to\infty}\|T_n\|\)。
因此 \(T_n \stackrel{\text{强}}{\to} T\)。 \(\square\)
注：之前我们讨论过有界线性算子空间的完备性（见“有界线性算子空间的完备性定理”），那时只要求 \(X_1\) 是 Banach 空间，而这里的定理还要求 \(X\) 是 Banach 空间。