泛函分析4-5 有界线性算子-闭算子与闭图像定理

第四章 第五节 闭算子与闭图像定理

定义：算子的图像

设 \(X, X_1\) 是赋范空间，\(T\) 是从 \(X\) 中到 \(X_1\) 中的线性算子。考虑乘积空间

\[X \times X_1 = \{(x, y) \mid x \in X,\ y \in X_1\} \]

在其上定义范数：对于任意的 \(z = (x, y) \in X \times X_1\)，令

\[\|z\| = \|(x, y)\| = \|x\| + \|y\|_1 . \]

称

\[G(T) = \{(x, Tx) \in X \times X_1 \mid x \in \mathcal{D}(T)\} \]

为算子 \(T\) 的图像。

注
可以验证 \(X \times X_1\) 是赋范空间；若 \(X\) 和 \(X_1\) 是 Banach 空间，则 \(X \times X_1\) 也是 Banach 空间。

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定义：闭算子

如果 \(G(T)\) 在乘积赋范空间 \(X \times X_1\) 中是闭的，则称 \(T\) 是闭算子。

根据定义容易证明：

定理（闭算子的等价条件）
设 \(X, X_1\) 是赋范空间，\(T\) 是从 \(X\) 到 \(X_1\) 中的线性算子。则 \(T\) 是闭算子当且仅当对任意 \(\{x_n\} \subset \mathcal{D}(T)\)，\(x_n \to x \in X\) 及 \(Tx_n \to y \in X_1\)，必有 \(x \in \mathcal{D}(T)\) 且 \(y = Tx\)。

注

• 有界（连续）线性算子一定是闭算子，但反之不一定。
• 闭算子的定义与连续算子的定义十分类似，不同点在于连续算子只要求 \(x_n \to x\) 就推出 \(Tx_n \to Tx\)，而闭算子需要外加 \(Tx_n\) 收敛这一条件。

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闭图像定理

定理（闭图像定理）
设 \(T\) 是 Banach 空间 \(X\) 上到 Banach 空间 \(X_1\) 中的闭线性算子，则 \(T\) 是有界线性算子。

注

\[\begin{cases} \mathcal{D}(T) = X,\ X \text{ 是 Banach 空间} \\ X_1 \text{ 是 Banach 空间} \\ T \text{ 闭} \end{cases} \implies T \text{ 有界}. \]

证明
因 \(X, X_1\) 是 Banach 空间，故 \(X \times X_1\) 是 Banach 空间。由于 \(T\) 是闭的，故 \(G(T)\) 是 \(X \times X_1\) 中的闭子空间，则 \(G(T)\) 是一个 Banach 空间。定义从 \(G(T)\) 上到 \(X\) 中的线性算子

\[\tilde{T}: (x, Tx) \to x. \]

\(\tilde{T}\) 是一对一且在上的线性算子（因为 \(\mathcal{D}(T) = X\)）。所以 \(\tilde{T}^{-1}\) 存在，

\[\tilde{T}^{-1}: x \to (x, Tx). \]

由 Banach 逆算子定理可知，\(\tilde{T}^{-1}: x \to (x, Tx)\) 是有界的。于是

\[\|(x, Tx)\| = \|\tilde{T}^{-1}(x)\| \leqslant \|\tilde{T}^{-1}\|\|x\|. \]

因为 \(\|(x, Tx)\| = \|x\| + \|Tx\|\)，所以

\[\|Tx\| \leqslant (\|\tilde{T}^{-1}\| - 1)\|x\|, \]

即 \(T\) 是有界线性算子。 \(\square\)

注
定理的条件要求 \(\mathcal{D}(T) = X\)，这点十分重要。定义域 \(\mathcal{D}(T)\) 是否是闭的，关系到 \(\tilde{T}^{-1}\) 是否有界。