【GESP 一级】洛谷 B4410 金字塔 题解

一、题目概述

本题是GESP 2025 年 9 月一级认证真题，对应洛谷题号 B4410，是入门阶段的经典循环累加题，核心是计算平方和。

题目可以简化为：输入金字塔的层数n，计算从1²到n²的平方和（即1² + 2² + 3² + … + n²）。

• 样例 1：n=2 → 1²+2²=1+4=5；
• 样例 2：n=5 → 1+4+9+16+25=55。

二、核心考察点

这道题覆盖了 GESP 一级的多个高频考点，是循环与累加的基础应用：

三、解题思路分析

1. 核心逻辑拆解

题目要求计算的是平方和：1² + 2² + … + n²，解题步骤如下：

1. 初始化总和变量sum = 0；
2. 用for循环从1遍历到n；
3. 每次循环计算当前数字的平方i*i，并累加到sum中；
4. 循环结束后，输出sum。

2. 数学公式优化（进阶）

平方和有通用公式：

这个公式可以直接一步算出结果，无需循环，效率更高。

• 样例 1：n=2 →2×3×5/6 = 30/6 = 5✔️
• 样例 2：n=5 →5×6×11/6 = 330/6 = 55✔️

四、完整解题流程

方法 1：循环累加（新手推荐，逻辑直观）

1. 读取层数n；
2. 初始化sum = 0；
3. for (int i = 1; i <= n; i++)，每次sum += i*i；
4. 输出sum。

方法 2：公式直接计算（进阶写法）

1. 读取层数n；
2. 用公式计算：sum = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6；
3. 输出sum。

五、易错点提醒（考试避坑）

1. 循环起点错误循环必须从1开始，不能从0开始，否则会多计算0²=0，虽然结果不变，但逻辑不严谨。

2. 累加变量初始化错误sum必须初始化为0，否则会包含随机值，导致结果错误。

3. 公式计算的整数溢出题目中n≤50，50×51×101=257550，在int范围内（最大约 2e9），不会溢出；如果n更大，需要用long long类型存储。

4. 边界值测试

   • n=1：结果为1；
   • n=50：结果为50×51×101/6 = 42925。

六、完整 C++ 代码

写法 1：循环累加版（新手友好）

#include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; int sum = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { sum += i * i; // 累加当前层数的平方 } cout << sum << endl; return 0; }

写法 2：公式计算版（高效简洁）

#include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; // 平方和公式：n(n+1)(2n+1)/6 int sum = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6; cout << sum << endl; return 0; }

七、扩展练习（举一反三）

学会这道题的核心逻辑后，可以试试以下扩展练习，巩固循环累加与数列求和能力：

练习 1：立方和计算

题目变形：输入n，计算1³ + 2³ + … + n³的和。

• 提示：循环累加i*i*i，或使用公式(n(n+1)/2)²。

练习 2：奇数平方和

题目变形：输入n，计算前n个奇数的平方和（如 n=3：1²+3²+5²）。

• 提示：循环变量i从 1 开始，每次加 2，累加i*i。

练习 3：金字塔倒序求和

题目变形：输入n，计算n² + (n-1)² + … + 1²的和（和原题结果相同）。

• 提示：循环从n遍历到1，逻辑和原题一致。

练习 4：双重循环打印金字塔

题目变形：输入n，打印一个数字金字塔，如 n=3：

1 2 2 3 3 3

• 提示：外层循环控制行数，内层循环控制空格和数字输出。

练习 5：金字塔砖块统计扩展

题目变形：金字塔每层的石块数是连续奇数（1, 3, 5, …），输入n，求总石块数。

• 提示：前n个奇数的和是n²，也可以循环累加2*i-1。

八、总结

这道题的核心是循环累加与平方和计算，是 GESP 一级中非常典型的数列求和基础题。

通过这道题，你不仅掌握了循环累加的基本用法，还了解了平方和的数学公式，这种 “循环实现” 和 “公式优化” 的对比思维，对后续学习算法非常有帮助。