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[题目识别练习]分层图/状态机建图练习

news 2026/5/3 3:43:58

前言

分层图/状态机建图一般是：题目给一张图，但是转移有限制，通常会把限制条件作为新维度，加入到节点定义中。
本随笔旨在训练分层图/状态机建图这类题的识别能力。
你可以按照下面的要求完成练习，然后发给AI来评价你的解答结果（选聪明一点的AI）
练习方法和题目由gemini-3.1-pro生成

训练方法

你需要像写解题报告一样，为每道题回答以下三个关键点：

节点定义（状态是什么）：比如 (当前城市, ???)。
连边规则（状态如何转移）：比如从 (u, ?) 连向 (v, ?)，边权是多少。
初始状态和目标状态是什么，以及使用什么图论算法（DFS, BFS, Dijkstra 等）。

训练题目

题目一：魔法飞行（经典分层图）

背景：
有 \(N\) 座城市，通过 \(M\) 条双向的高速公路相连，通过每条公路需要花费一定的时间 \(W_i\)。
你从城市 1 出发，要去城市 \(N\)。
你身上带有 \(K\) 张“瞬移符”。使用一张瞬移符，你可以瞬间通过一条相邻的公路，且不花费任何时间（耗时为 0）。
数据范围： \(N, M \le 10^5\)，\(W_i \le 10^9\)，\(K \le 10\)。
问题： 求从城市 1 到达城市 \(N\) 的最短花费时间。

题目二：挑剔的旅行者（经典状态机）

背景：
有 \(N\) 个路口，通过 \(M\) 条单向道路相连，每条道路的长度都是 1。
每条道路都被涂成了三种颜色之一：红色 (R)、绿色 (G)、蓝色 (B)。
你是一个极其挑剔的旅行者，你绝对不能连续走两条颜色相同的道路。（例如，刚走完红色的路，下一条路只能选绿色或蓝色）。
数据范围： \(N, M \le 10^5\)。
问题： 你从路口 1 出发，初始时你可以选择任意颜色的道路起步。求到达路口 \(N\) 的最短路径长度（如果无法到达输出 -1）。

题目三：安全屋的密码（周期状态机）

背景：
有一张 \(N\) 个节点 \(M\) 条边的有向图，所有边的长度都是 1。起点是节点 1，终点是节点 \(N\)。
节点 \(N\) 是一个被魔法封印的安全屋。解除封印的条件非常苛刻：你到达节点 \(N\) 时，你在整段旅途中所走过的总边数，必须恰好是 3 的倍数。（比如走 3 步、6 步、9 步到达都可以，但 4 步不行）。
图里可能存在环，你可以多次经过同一个节点或同一条边来凑步数。
数据范围： \(N, M \le 10^5\)。
问题： 求满足解除封印条件的最短路径长度（最少需要走多少步）。

我发给AI的回答

题目一：
节点定义：(当前城市,剩余瞬移符数量)
连边规则：

(cur,rest)->(nxt,rest)，条件为有路相连，边权为Wi。
(cur,rest)->(nxt,rest-1)，意思是消耗一个瞬移符，条件是有路相连。边权为0。
初始状态：(1,k)
目标状态：(n,x)，x为[0,k]之间任意值
图论算法：dijkstra

题目二：
节点状态：(当前路口，上一个经过的路的颜色)
连边规则：设红0绿1蓝2，如果cur到nxt有道路且颜色为j，则可以(cur,i)->(nxt,j)，i为上一步走到cur的道路颜色，j为从cur到nxt的路口颜色。i为所有除了j之外的值。
初始状态：(1,0) (1,1) (1,2)三个都是。
目标状态：(n,0) (n,1) (n,2) 三者择其一就行。
图论算法：dijkstra，对三个初始状态单独用一次。选择最小值就是答案。

题目三：
节点状态：(当前节点，目前走过的总边数模3)
连边规则：(cur,x)->(nxt,(x+1)%3)有单向边。
初始状态：(1,0)
目标状态：(n,0)
图论算法：dijkstra

AI的评价

太漂亮了！你的解答完全正确！你不仅找准了状态，连边的条件、权值，以及初始和目标状态的分析都非常严密。

可以说，你已经完全掌握了“把限制条件加入节点定义”的核心思想。

下面我逐题给你做个简单的点评，并补充几个在竞技编程（CP）中能让你的代码更优雅、运行更快的小技巧：

题目一：魔法飞行（完全正确，满分💯）

你的建图：完美。用“剩余数量”做状态是非常直观的。
补充小技巧：在写代码时，通常大家也会习惯用 (当前城市, 已使用的瞬移符数量) 来表示状态，因为初始状态变成 (1, 0)，目标是 (N, 0~K)，这样在开数组和写循环时，下标从 0 到 K 会稍微顺手一点点。但你的逻辑没有任何问题。Dijkstra 算法选择也非常准确，因为边权 \(W_i\) 大于 0。

题目二：挑剔的旅行者（逻辑满分，算法可优化🌟）

你的建图：完全正确。记录“上一条边的颜色”正是这道题的破局点。
优化点 1（初始状态处理）：你提到初始状态算作 (1,0), (1,1), (1,2) 三个，这完全可以。不过更常见的优雅写法是：给颜色定义第 4 种状态，比如 3 代表“还没走过任何路”。
初始状态：(1, 3)。
连边规则：(cur, 3) -> (nxt, j) 无条件合法（因为第一步选什么颜色都可以）。
这样你就只需要从一个固定的起点 (1, 3) 开始跑最短路了。
优化点 2（算法选择）：你选择了 Dijkstra，能 AC。但注意看题目条件：“每条道路的长度都是 1”。
在图论中，如果所有边的权重都是相同的（比如都是 1），用普通的 BFS 就可以了！ BFS 的时间复杂度是 \(O(V+E)\)，而 Dijkstra 是 \(O(E \log V)\)。在这个数据范围下，BFS 会快很多倍。
优化点 3（多源点入队）：如果你依然用你的 (1,0), (1,1), (1,2) 做初始状态，其实不需要单独跑 3 次。你可以在算法刚开始的时候，把这 3 个状态同时丢进 BFS/Dijkstra 的队列里，并且它们的距离都初始化为 0。这就是所谓的“多源最短路”技巧。

题目三：安全屋的密码（逻辑满分，算法可优化🌟）

你的建图：完美。(当前节点, 目前走过的总边数 % 3) 是最标准的做法。
优化点（算法选择）：和第二题一样，因为边权都是 1（即求最少走多少步），所以直接用 BFS 即可。
由于所有边权都是 1，你每走一步，距离必然 +1。用普通的队列（queue）进行层次遍历，最先弹出的 (N, 0) 的距离必然就是全局最短距离，不需要用优先队列（priority_queue）去维护 Dijkstra。