【数据分析】用于Bethe变分问题（BVP）和量子Bethe变分问题（QBVP）的Bregman ADMM的MATLAB实现
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🔥 内容介绍
一、引言
在数据分析和量子物理等领域，Bethe 变分问题（BVP）和量子 Bethe 变分问题（QBVP）具有重要地位。然而，求解这些问题往往面临诸多挑战，传统方法在处理高维度、复杂结构的问题时效率较低。Bregman 交替方向乘子法（Bregman ADMM）作为一种强大的优化算法，为解决 BVP 和 QBVP 提供了新的有效途径。它结合了 Bregman 散度和交替方向乘子法的优势，能够在复杂问题中实现高效求解。
二、Bethe 变分问题（BVP）与量子 Bethe 变分问题（QBVP）概述
（一）Bethe 变分问题（BVP）
BVP 通常出现在统计物理和机器学习等领域，旨在通过变分方法找到一个最优的近似分布，使得该分布在满足一定约束条件下，能够最小化与目标函数相关的某个能量泛函。例如，在图形模型中，BVP 可用于近似计算联合概率分布，通过调整局部边缘分布来逼近全局最优解。其核心在于利用 Bethe 自由能作为目标函数，通过迭代优化局部变量，以达到整体的最优状态。
（二）量子 Bethe 变分问题（QBVP）
QBVP 是 BVP 在量子领域的拓展，主要应用于量子多体系统的研究。在量子世界中，系统的状态由量子态描述，QBVP 试图通过变分原理找到最佳的量子态近似，以求解量子系统的基态能量、纠缠等重要物理量。与 BVP 不同的是，QBVP 需要考虑量子态的特殊性质，如叠加态、纠缠态等，这使得问题的求解更加复杂。例如，在量子自旋模型中，通过调整变分参数来寻找最接近真实基态的量子态，从而计算系统的基态能量。
三、Bregman 交替方向乘子法（Bregman ADMM）原理
（一）交替方向乘子法（ADMM）基础
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
%% Test sensor network localization
clear all
close all
addpath('./Tools');
addpath('./Solvers/');
rng('default');
%% parameters
par.maxiter = 10000;
par.tol = 1e-4;
par.verbose = 1;
par.maxtime = 3600;
na = 4; % number of anchors
t = 10; % gridlevel, r = t^2
T = 1;
plotyes = 1;
%% solvers
useJBP = 1; %% Jacobian Belief Propagation
useGSBP = 1; %% Guass-Seidel Belief Propagation
useCCCP = 0; %% Convex Concave double loop algorithm
useBADMM = 1; %% Bregman ADMM
pk = 1;
BADMM_data = cell(6,1);
JBP_data = cell(6,1);
GSBP_data = cell(6,1);
CCCP_data = cell(6,1);
for n = 100
for R = 0.2 %[0.3,0.5,0.6] %[0.1,0.2]
for sig = 0.02 %[0.005,0.01,0.02] %[0.2,0.3] %[0.02,0.05,0.1] % noise level
rng('default');
%[G,C,c,Sen,Anc,gnods] = genSNLdata_outlier(sig,R,n,na,t,0.05); % with outlier noise
[G,C,c,Sen,Anc,gnods] = genSNLdata(sig,R,n,na,t); % no outlier noise
if ~isempty(find(sum(G,2)==0, 1))
continue;
end
m = nnz(G)/2;
%% Jacobi belief Propagation
if useJBP
runhist = JBP(G,C,c,T,par);
ttime = runhist.ttime;
fval = runhist.fval;
pfeas = runhist.pfeas;
iter = runhist.iter;
q = runhist.q;
JBP_data{pk} = q;
fprintf(' \n $n$=%2d & JBP & %3.2e & 0 & %6.7e & %2d & %3.2e \\\\',n,pfeas,fval,iter,ttime);
if plotyes == 1
pSen = q'*gnods;
RMSD = norm(pSen-Sen,'fro')/sqrt(n);
subplot(2,2,1);
plot(Sen(:,1),Sen(:,2),'r*');
hold on;
plot(Anc(:,1),Anc(:,2),'kp','MarkerSize',12);
plot(pSen(:,1),pSen(:,2),'b+');
plot([Sen(:,1),pSen(:,1)]',[Sen(:,2),pSen(:,2)]','g-');
title(['JBP, RMSD=',num2str(RMSD)]);
end
else
fprintf(' \n $n$=%2d & JBP & - & - & - & -&- \\\\',n);
end
%% Guass-Seidel belief Propagation
if useGSBP
runhist = GSBP(G,C,c,T,par);
ttime = runhist.ttime;
fval = runhist.fval;
pfeas = runhist.pfeas;
iter = runhist.iter;
q1 = runhist.q;
r = length(q1{1});
q = zeros(r,n);
for k = 1:n
q(:,k) = q1{k};
end
GSBP_data{pk} = q;
fprintf(' \n $m$=%2d & GSBP & %3.2e & 0 & %6.7e & %2d & %3.2e \\\\',m,pfeas,fval,iter,ttime);
if plotyes == 1
pSen = q'*gnods;
RMSD = norm(pSen-Sen,'fro')/sqrt(n);
subplot(2,2,2);
plot(Sen(:,1),Sen(:,2),'r*');
hold on;
plot(Anc(:,1),Anc(:,2),'kp','MarkerSize',12);
plot(pSen(:,1),pSen(:,2),'b+');
plot([Sen(:,1),pSen(:,1)]',[Sen(:,2),pSen(:,2)]','g-');
title(['GSBP, RMSD=',num2str(RMSD)]);
end
else
fprintf(' \n $m$=%2d & GSBP & - & - & - & - &- \\\\',m);
end
%% Bregman ADMM
if useBADMM
runhist = BADMM(G,C,c,T,par);
ttime = runhist.ttime;
fval = runhist.fval;
pfeas = runhist.pfeas;
dfeas = runhist.dfeas;
iter = runhist.iter;
q = runhist.q;
BADMM_data{pk} = q;
fprintf(' \n $\\sigma$=%3.2e & BADMM & %3.2e & %3.2e& %6.7e & %2d & %3.2e \\\\',sig,pfeas,dfeas,fval,iter,ttime);
if plotyes == 1
pSen = q'*gnods;
RMSD = norm(pSen-Sen,'fro')/sqrt(n);
subplot(2,2,3);
plot(Sen(:,1),Sen(:,2),'r*');
hold on;
plot(Anc(:,1),Anc(:,2),'kp','MarkerSize',12);
plot(pSen(:,1),pSen(:,2),'b+');
plot([Sen(:,1),pSen(:,1)]',[Sen(:,2),pSen(:,2)]','g-');
title(['BADMM, RMSD=',num2str(RMSD)]);
end
else
fprintf(' \n $\\sigma$=%3.2e & BADMM & - & - & - & -&- \\\\',sig);
end
%% Convex Concave procedure
if useCCCP
runhist = CCCP(G,C,c,T,par);
fval = runhist.fval;
pfeas = runhist.pfeas;
dfeas = runhist.dfeas;
ttime = runhist.ttime;
Initer = runhist.Initer;
q1 = runhist.q;
r = length(q1{1});
q = zeros(r,n);
for k = 1:n
q(:,k) = q1{k};
end
CCCP_data{pk} = q;
fprintf(' \n $R$=%3.2e& CCCP & %3.2e & %3.2e & %6.7e & %2d & %3.2e \\\\',R,pfeas,dfeas,fval,Initer,ttime);
if plotyes == 1
pSen = q'*gnods;
RMSD = norm(pSen-Sen,'fro')/sqrt(n);
subplot(2,2,4);
plot(Sen(:,1),Sen(:,2),'r*');
hold on;
plot(Anc(:,1),Anc(:,2),'kp','MarkerSize',12);
plot(pSen(:,1),pSen(:,2),'b+');
plot([Sen(:,1),pSen(:,1)]',[Sen(:,2),pSen(:,2)]','g-');
title(['CCCP, RMSD=',num2str(RMSD)]);
end
else
🔗 参考文献
'CCCP.m': Double-loop algorithm for BVP
Yuille, A. L. (2002). CCCP algorithms to minimize the Bethe and Kikuchi free energies: Convergent alternatives to belief propagation. Neural computation, 14(7), 1691-1722.
'JBP.m': Jacobi Belief propagation for BVP, 'GSBP.m': Gauss-Seidel Belief propagation for BVP Pearl, J. (2014). Probabilistic reasoning in intelligent systems: networks of plausible inference. Elsevier.
'QT_JBP.m': Jacobi Belief propagation for QBVP, 'QT_GSBP.m': Gauss-Seidel Belief propagation for QBVP Zhao, J., Bondesan, R., & Luk, W. (2024). Quantum Belief Propagation.
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告诫读者和自己第一，科学态度。历史学是一门科学，要学会做历史研究，就得有科学态度。科学态度不是与生俱来的，必须认真培养，关键是培养我们在研究中认真负责一丝不苟的精神。第二，献身精神。从事历史研究，就像从事其他任何科学研究一样，要有一种为科学研究而献身的精神，要热爱我们的研究事业，要有潜心从事这项工作的意志。没有献身精神，当然做不好科研工作。只想拿一个学位，那是很难学好做研究的。要拿学位，这一点可以理解，但我们读书，是为了自己获得真才实学。有了真才实学将来不论做什么工作，都是有用的。当然学位也是要的，但关键的是学问而不是学位。第三，查阅收集学术信息、资料的能力。青年学生要从事学术研究，就要培养能熟练地掌握查阅搜集学术信息、资料的能力。例如学习与研究英帝国史，就得了解国内外有关这个专业的基本情况，了解有关资料情况。像你们在北京地区学习，至少要大致了解北京地区有关英帝国史的中英文资料，熟悉与专业密切相关的主要图书馆，了解馆藏情况。这就需要经常去图书馆。我们这个专业不需要到田间考察，到工厂调研，但要去图书馆，去图书馆就是我们的调查研究。熟悉有关图书馆的情况是我们学习的一部分。今天，网络飞速发展，掌握网上查阅信息的技巧是非常必要的。第四，处理资料的能力。搜集的资料会越来越多，怎样安排它们也是一门学问。各学科各个研究人员的方式可能会有所不同，但总的原则是要有条理，便于记忆，便于查阅。第五，对资料的鉴别意识与鉴别能力。我们在使用研究资料时不能拿着就用，要有意识鉴别一下，材料是否可靠，什么样的材料更有价值。读书时，也不是拿着什么书就通读到底。有的书翻一翻即可，有的书则需认真读。区别哪些书翻一翻即可，哪些书得认真读，也不是一件容易的事，青年学生不是一下子就能做到这一点的，需逐渐培养这种能力。还有一点就是要学会使用计算机，能比较熟练地进行文字处理。
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