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UVa 10766 Organising the Organisation

news 2026/5/4 12:01:41

题目描述

我们有一个包含nnn个部门的公司，需要将这些部门组织成一个树形层次结构。其中一个特定的部门（编号为kkk）必须位于树的根节点位置。此外，某些部门对之间无法直接合作，这意味着在树形结构中它们不能是直接的父子关系。

给定部门数量nnn、中央管理部门编号kkk以及mmm对不能合作的部门，我们需要计算可能的组织方案数量。

问题分析

这个问题可以抽象为：在nnn个节点的完全图中，删除mmm条禁止边后，计算以节点kkk为根的生成树数量。

关键观察

111.树形结构：公司的组织架构是一棵有根树，根节点固定为中央管理部门kkk
222.禁止边约束：某些节点对之间不能有直接的父子关系
333.生成树计数：这实际上是一个带约束的生成树计数问题

算法选择

Matrix-Tree\texttt{Matrix-Tree}Matrix-Tree定理

Kirchhoff’s Matrix-Tree Theorem\texttt{Kirchhoff's Matrix-Tree Theorem}Kirchhoff’s Matrix-Tree Theorem是解决此类问题的经典方法：

对于无向图GGG，其生成树数量等于其拉普拉斯矩阵的任意一个n−1n-1n−1阶主子式的行列式
对于有根树（根固定为kkk），生成树数量等于删除第kkk行第kkk列后的n−1n-1n−1阶矩阵的行列式

拉普拉斯矩阵构造

对于图G=(V,E)G = (V, E)G=(V,E)，拉普拉斯矩阵LLL定义为：

Lii=deg⁡(i)L_{ii} = \deg(i)Lii=deg(i)，即节点iii的度数
Lij=−1L_{ij} = -1Lij=−1，如果(i,j)∈E(i, j) \in E(i,j)∈E
Lij=0L_{ij} = 0Lij=0，如果(i,j)∉E(i, j) \notin E(i,j)∈/E

在我们的问题中，图GGG是完全图KnK_nKn去掉mmm条禁止边。

解题步骤

111.构建允许边图：从完全图中移除所有禁止边
222.构造拉普拉斯矩阵：根据允许边图构建拉普拉斯矩阵
333.删除根节点行列：删除第kkk行和第kkk列，得到n−1n-1n−1阶矩阵
444.计算行列式：使用整数安全的算法计算该矩阵的行列式

技术难点

整数行列式计算

由于结果可能达到101510^{15}1015，必须使用精确的整数运算。浮点数运算会产生精度问题。

我们采用辗转相除法进行高斯消元：

避免除法运算，保持整数精度
通过行交换和减法操作实现消元
每次交换行时调整行列式的符号

算法复杂度

时间复杂度：O(n3)O(n^3)O(n3)，主要来自行列式计算
空间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)，用于存储矩阵

对于n≤50n \leq 50n≤50的数据规模，这个复杂度是完全可行的。

参考代码

// Organising the Organisation// UVa ID: 10766// Verdict: Accepted// Submission Date: 2025-10-15// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;typedeflonglongll;// 使用辗转相除法的高斯消元计算整数行列式lldet(vector<vector<ll>>matrix){intn=matrix.size();ll res=1;for(inti=0;i<n;i++){// 寻找主元intpivot=i;for(intj=i+1;j<n;j++){if(abs(matrix[j][i])>abs(matrix[pivot][i])){pivot=j;}}if(pivot!=i){swap(matrix[i],matrix[pivot]);res=-res;}if(matrix[i][i]==0){return0;}// 消去下方行for(intj=i+1;j<n;j++){while(matrix[j][i]!=0){// 使用辗转相除法ll ratio=matrix[j][i]/matrix[i][i];for(intk=i;k<n;k++){matrix[j][k]-=ratio*matrix[i][k];}if(matrix[j][i]!=0){swap(matrix[i],matrix[j]);res=-res;}}}res*=matrix[i][i];}returnres;}intmain(){ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);intn,m,k;while(cin>>n>>m>>k){vector<vector<bool>>forbidden(n,vector<bool>(n,false));for(inti=0;i<m;i++){inta,b;cin>>a>>b;a--;b--;forbidden[a][b]=true;forbidden[b][a]=true;}// 构建拉普拉斯矩阵vector<vector<ll>>L(n,vector<ll>(n,0));for(inti=0;i<n;i++){intdeg=0;for(intj=0;j<n;j++){if(i!=j&&!forbidden[i][j]){L[i][j]=-1;deg++;}}L[i][i]=deg;}// 删除第 k-1 行和列if(n==1){cout<<"1\n";continue;}vector<vector<ll>>minor;for(inti=0;i<n;i++){if(i==k-1)continue;vector<ll>row;for(intj=0;j<n;j++){if(j==k-1)continue;row.push_back(L[i][j]);}minor.push_back(row);}ll ans=det(minor);cout<<ans<<"\n";}return0;}