贝叶斯公式：
\[P(AB) = P(A)P(B|A)
\]
\(A,B\) 同时发生的概率等于 \(A\) 发生的概率乘以在 \(A\) 发生的条件下 \(B\) 发生的概率。
期望的线性性：
\[E(A + B) = E(A) + E(B)
\]
当 \(A,B\) 独立（互不影响）时：
\[E(AB) = E(A)E(B)
\]
线性性的例子：
设 \(X_i\) 相互独立，且 \(\sum X_i = X\)，\(E(X_1) = E(X_2) = \cdots\)。
则
\[\begin{align*}
E(X^2)& = E((\sum X_i)^2) = E(\sum_{i,j}(X_iX_j))\\&= E(\sum_{i}X_i^2 + \sum_{i\not= j}(X_iX_j))\\
&=E(\sum_iX_i^2) + E(\sum_{i\not= j}(X_iX_j)) \\
&=nE(X_1^2) + n(n - 1)(E(X_1))^2
\end{align*}
\]
注意到
\[n^2 = \sum^n_{i = 1}(2(i - 1) + 1)
\]
因此我们可以转化一下：
数轴上随机游走（一维随机游走）：
已知有无穷个位置：\(\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\)，每一步有 \(p > 50\%\) 的概率向右走，\(1-p\) 的概率向左走，求从 \(0\) 走到 \(n\) 走的步数的期望。
首先设 \(f\) 为第一次走到 \(1\) 的期望步数，则走到 \(n\) 的期望步数为 \(nf\)，因为需要从 \(0\to 1,1\to 2,\cdots 2\to n\)。
又因为 \(f = p\cdot 1 + (1 - p)\cdot 2f\)（从 \(0\) 走有 \(p\) 的概率到 \(1\)，又有 \(1-p\) 的概率走到 \(-1\)，此时又需要走两次才能到 \(1\)）。
所以 \(f = \dfrac{1}{2p - 1}\)。