不知道大家在使用到一些法则的时候有没有出现过这样问题：这个法则看起来很好用，那么他的本质是什么？为什么我们如此广泛的使用它？
按照我的想法，其实所谓法则，就是一类可以转换未知量为已知的结论。
我们可以举个例子，比如对x的平方加上x求导，你也许会立即得到结果是2x加上一，让我们来看看这个过程是如何发生的
首先，根据和的求导法则，我们将它拆分为x的平方和x的导数之和，然后根据导数表中这两个函数对应的导数得到结果
还有一种方法，把x的平方看成是x乘x，此时他的导数就是两个x乘以x的导数，根据导数表，我们知道x的导数是一，于是得到答案
可以看到，我们所知道的结论有两个，一个是法则，它的作用是转换，一个是导数表，它可以让你检索到一只的函数的导数，在上述过程中他们一前一后帮助我们得到了答案。
基于上面对于导数的思考，我们可以得到一个结论，那就是所谓的法则和导数表其实数学本质是一样的，他们都是结论，广泛使用的原因在于我们需要把未知的函数的导数转换为已知函数的导数，因为求导法则对适用的函数没有限定，因此这种组合几乎是无穷多种，这就是我们对法则使用广泛的原因，因为它能解决很多很多问题。
求导数其实是是比较简单的，我更想说说看的是对于积分法则的思考，我觉得这也是一部分人的困顿。
我们学到的积分有两类，一个是不定积分，一个是定积分，对于他们来说有一套类似的计算方法，但是其本质却是有所不同的（我后面的观点基于柯朗的微积分和数学分析引论，可能和同济版的教材有所冲突）
我们需要明确在这个讨论过程中使用的概念的基本定义
首先是导数，他被定义为商的极限，定积分，他被定义为和的极限，原函数，他被定义为求导后可以得到指定函数的函数，不定积分，指的是将定积分的积分上限视作变量的一类函数。
要说明积分法则的来源，我们需要先搞定导出这个法则的基本定理，也就是微积分基本定理，他的表述很简单，一个函数的原函数时这个函数的不定积分与一个常数之和。因为原函数和不定积分联系如此之深，我们通常会把他们作为同一个东西，也就是说，不定积分和原函数一般是指的同一类函数，用积分符号和fxdx和在一起表示。但是在我们的证明中，还是不要混在一起表示为好。
首先要证明这个定理，我们需要证明两个定理。首先是不定积分是一个原函数，其次是两个原函数之间只差一个常数，简单来说我们首先证明了很多原函数中必定存在一个不定积分形式的函数，然后我们又知道其他的一切原函数都可以通过在这个不定积分上加一个常数得到，这就是微积分基本定理。
换一个表述方式，我们也可以这样说，就是如果Fx求导得到fx，这必定有Fx等于积分符号加fxdx。之所以这样表述，是为了让你能直观看到，我们是如何用求导法则导出不定积分的积分法则的。
首先我们知道恒等式，fx导数等于fx的导数根据微积分基本定理，这就是在说fx等于积分符号加fxdx，这将是最重要的起点
然后我们套用求导法则中的加法法则，可以立即得到f加g的导数等于f的导数加上g的导数，于是我们得到f加g等于积分符号加f的导数加g的导数dx，然后根据上面的得到结论，这等于积分符号加fdx加积分符号加gdx，这就是我们积分法则中的加法法则，以此类推，按照导数的减法和乘法法则，你可以得到减法法则和乘法法则，也就是分部积分法则。最后还有一个复合函数求导法则，可以得到换元积分法
经过上面的证明，我们得到了完整的一套积分法则，这些法则可以看做求导法则根据微积分基本定理的映射，因为他们几乎是一一对应的。并且我们们可以按照之前的程序得到很多函数的不定积分，只需要用法则转换成在积分表中的已知的函数的不定积分了。
我们整理一下我刚才讲述了些什么东西
第一，法则的数学本质是推论，他之所以使用广泛，原因在于他的作用在于转换，转换的对象几乎无穷无尽，因此它能转化的对象，也就是可以解决的问题就非常多，这也就是我们所说的广泛。
第二，我们使用求导法则和积分法则遵从一套程序，就是使用法则将某个函数的导数或积分转化成导数表或积分表中已知的部分，得到最终结果
第三，我们大致上讲述了微积分基本定理的来源以及它是如何将一部分求导法则转化为积分法则的，阐释了积分法则的来源
（作者懒得写公式，如果有人点赞，说明文章有点阅读价值，我会尽快把文字表述的内容转化成公式让大家更容易看明白）