为什么 y = 1/x 积分是对数

y=1xmy=\dfrac{1}{x^m}y=xm1​不停积分得∫1xm=x1−m1−m\displaystyle\int\dfrac{1}{x^m}=\dfrac{x^{1-m}}{1-m}∫xm1​=1−mx1−m​，但到了 m = -1 时，突然就积出一个ln⁡x\ln xlnx，倒不是说 m 能不能等于 1 的问题，而是这个突兀的 log 实在太突兀，这是一个有趣的问题。

特殊性在于y=1xy=\dfrac{1}{x}y=x1​本身，它是缩放不变的。

区间A:[1,x]A:[1,x]A:[1,x]和 缩放后的B:[k, k⋅x]B:[k,\,k\cdot x]B:[k,k⋅x]，x 宽多少倍，y 高就矮多少倍，如果将 A，B 都分成相同份数 n 段，两段区间用同一个公比 q 做等比分割，那么：

q=x1nq=x^{\frac{1}{n}}q=xn1​

每一小段：

[qm,qm+1][q^m,q^{m+1}][qm,qm+1]

连同 y 可分成 n 个小矩形，每一个矩形面积：

Δm⋅1qm=qm(q−1)⋅1qm=q−1\Delta m\cdot\dfrac{1}{q^m}=q^m(q-1)\cdot\dfrac{1}{q^m}=q-1Δm⋅qm1​=qm(q−1)⋅qm1​=q−1

可见，y=1xy=\dfrac{1}{x}y=x1​下的小矩形只与公比 q 有关，与求积区间的位置无关，全部 n 个这样的小举行总面积就是：

n⋅(q−1)=n⋅(q1x−1)n\cdot(q-1)=n\cdot(q^{\frac{1}{x}}-1)n⋅(q−1)=n⋅(qx1​−1)

只要 n 和 q 相同，n 个小矩形面积和就相同，即：

面积[1,ab]=面积[1,a]+面积[a,ab]面积[1, ab]=面积[1, a]+面积[a, ab]面积[1,ab]=面积[1,a]+面积[a,ab]

而面积[a,ab]=面积[1,b]面积[a, ab]=面积[1, b]面积[a,ab]=面积[1,b]，所以：

面积[1,ab]=面积[1,a]+面积[1,b]面积[1, ab]=面积[1, a]+面积[1, b]面积[1,ab]=面积[1,a]+面积[1,b]

这是一个非常典型的运算法则：

f(a⋅b)=f(a)+f(b)f(a\cdot b)=f(a)+f(b)f(a⋅b)=f(a)+f(b)

它正好是指数的逆运算，这很好理解，如果设 L 即该规则y=L(x)y=L(x)y=L(x)，那么定义反函数x=E(y)x=E(y)x=E(y)，由于：

L(u)+L(v)=L(uv)L(u)+L(v)=L(uv)L(u)+L(v)=L(uv)

令u=E(a)，v=E(b)u=E(a)，v=E(b)u=E(a)，v=E(b)，代入：

L(E(a))+L(E(b))=L(E(a)⋅E(b))L(E(a))+L(E(b))=L(E(a)\cdot E(b))L(E(a))+L(E(b))=L(E(a)⋅E(b))

根据反函数还原左边：

a+b=L(E(a)⋅E(b))a+b=L(E(a)\cdot E(b))a+b=L(E(a)⋅E(b))

再两边作用 E：

E(a+b)=E(a)⋅E(b)E(a+b)=E(a)\cdot E(b)E(a+b)=E(a)⋅E(b)

这不就是指数函数嘛：

E(n⋅a)=E(a+a+...)=E(a)⋅E(a)⋅...=En(a)E(n\cdot a)=E(a+a+...)=E(a)\cdot E(a)\cdot...=E^n(a)E(n⋅a)=E(a+a+...)=E(a)⋅E(a)⋅...=En(a)

现在我们知道 L 就是对数函数。

回到y=1xy=\dfrac{1}{x}y=x1​求面积，来看看它和 e 的关系。n 个小矩形面积之和写成现代方式就是：

A=lim⁡n→∞n⋅(x1n−1)A=\lim_{n\to\infty}n\cdot(x^{\frac{1}{n}}-1)A=limn→∞​n⋅(xn1​−1)

对比复利增长式，它就是 e 的极限定义：

e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=\lim_{n\to\infty}(1+\dfrac{1}{n})^ne=limn→∞​(1+n1​)n

这是把单位生长量 1，平均拆成 n 份微小增量1n\dfrac{1}{n}n1​。

而 A 的极限定义则是反向拆解，给一个最终生长结果 x，把 x 反向开 n 次方，拆回每一步的微元倍率x1nx^{\frac{1}{n}}xn1​，减去基准 1，得到每一步的净增量，乘以份数 n，把碎增量累加还原成总生长。

两者的关系是：

• e：从 1 出发，无限微小复利，能长到多少；
• A：长成了 x，总共相当于多少单位生长量；

两者刚刚好就是相逆的，因此如果定义 A = 1，则 x 就是 e：

ln⁡e=1=lim⁡n→∞n(e1n−1)\ln e=1=\lim_{n\to\infty}n(e^{\frac{1}{n}}-1)lne=1=limn→∞​n(en1​−1)

看一眼这个逆过程。

设t=1nt=\dfrac{1}{n}t=n1​，则：

e=lim⁡t→0(1+t)1te=\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}e=limt→0​(1+t)t1​

ln⁡e=lim⁡t→0et−1t\ln e=\lim_{t\to 0}\dfrac{e^t-1}{t}lne=limt→0​tet−1​

把e=(1+t)1te=(1+t)^{\frac{1}{t}}e=(1+t)t1​代入：

et=1+t→ln⁡e=1e^t=1+t\to \ln e=1et=1+t→lne=1

增量和自身大小成正比，都走 e 的复利路径，而ln⁡x\ln xlnx则是给这种生长标刻度的尺子。

而对数作为大动态测量标尺，恰逢人类开始认识大动态范围的时候，来了。

这就是y=1xy=\dfrac{1}{x}y=x1​与ln⁡x\ln xlnx的关系。

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