令R为所有实数的集合，定义标量乘法为ax=a.x 定义加法记作 圆圈包含+ 为 x圆圈包含+ =max(x,y) R连同这些运算是否构成向量空间？证明你的结论？

( \mathbb{R} ) 连同这些加法 ( \oplus ) 和标量乘法 ( \cdot )不构成向量空间。主要违反的是加法的单位元存在性（零向量不存在），其次标量乘法与加法的兼容性也失效（例如，当标量为负时分配律破裂）。这个例子展示了 max 操作像一个“上确界”结构，更适合半格而非向量空间。如果标量域限于正实数，或许部分公理能调整，但标准定义下它失败。

令Z表示所有整数的集合，按照通常的意义定义加法，标量乘法记作。定义为a。k= [[a]].k k属于Z,其中[[a]]表示不超过a的最大整数，例如：2.25。4[[2.25]].4=2.4=8 证明：Z连同这些运算不构成向量空间，哪一个公理不成立？

不成立！

令S表示所有实数无限序列集合，在其上定义标量乘法和加法为 a{an}= {aan}

{an}+{bn}={an+bn} 证明S为向量空间

我们可在Pn中的元素与R^n中的元素之间建立一一对应的关系

p(x)=a1+a2x+...+anx^n-1 <->(a1,...,an) ^T =a 证明 如果p <-> a,且q<->b 则

（a） 对任何标量a,ap<-> aa

(b) p+1<->a+b

一般地，如果两个向量空间的元素间可以建立一一对应的关系，并在标量乘法和加法意义下保持(a) 和(b)成立，则称这两个向量空间为同构的。