在光栅化三角形时，我们常使用重心坐标来判断点是否在三角形内、插值法线、插值纹理坐标，然而在光栅化三角形时计算出来的是在屏幕坐标下的重心坐标，而在运用透视投影时实际需要的应该是在观察坐标下的重心坐标，虽然不进行矫正在某种情况下看不出差别。本文将基于Games101所给的的投影矩阵进行矫正公式的推导。
首先，透视投影矩阵 \(M_{perspective}\) 如下：
\[M_{perspective}=
M_{正交}
\times
\begin{bmatrix}n & 0 & 0 & 0\\0 & n & 0 & 0\\0 & 0 & n+f & -n \times f \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}\frac{2n}{r-l} & 0 & -\frac{r+l}{r-l} & 0\\0 & \frac{2n}{t-b} & -\frac{t+b}{t-b} & 0\\0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & \frac{-2nf}{n-f} \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}\]
根据正交投影的性质，可知正交投影并不会改变 \(x、y、z\) 的值，实际改变 \(x、y、z\) 的是矩阵M,其中：
\[M=\begin{bmatrix}
n & 0 & 0 & 0\\0 & n & 0 & 0\\0 & 0 & n+f & -n \times f \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}\]
并且对于齐次坐标下的点P=\((x, y, z, 1)^T\),经透视投影后有\(P^{'}\)：
\[M\times P=\begin{bmatrix}
nx \\
ny \\
z(n+f)-nf \\
z
\end{bmatrix}=z\times \begin{bmatrix}
\frac{nx}{z} \\
\frac{ny}{z} \\
\frac{z(n+f)-nf}{z} \\
1
\end{bmatrix}=z\times P^{'}\]
可以看出，经透视变换后 \(x->\frac{nx}{z}\)...。
假设观察坐标下有 点 \(P,A,B,C\) ，其在屏幕坐标下为别为 \(P^{'},A^{'},B^{'},C^{'}\) 且 \(A,B,C\) 构成 三角形，\(P\) 在三角形\(ABC\)内。
根据重心坐标定义有：
\[P^{'}=\begin{bmatrix}
A{'} \ \ \ B^{'} \ \ \ C^{'}
\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
\alpha^{'} \\
\beta^{'} \\
\gamma^{'}
\end{bmatrix}
\]
同时，有 \(P^{'}=\frac{1}{P.z}M\times P\) , \(A^{'}=\frac{1}{A.z}M\times A\), \(B^{'}=\frac{1}{B.z}M\times B\), \(C^{'}=\frac{1}{C.z}M\times C\) ,带入上式中有：
\[\frac{1}{P.z}M\times P =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{A.z}M\times A \ \ \ \ \frac{1}{B.z}M\times B \ \ \ \ \frac{1}{C.z}M\times C
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
\alpha^{'} \\
\beta^{'} \\
\gamma^{'}
\end{bmatrix}
\]
很容易得到以下式子：
\[\frac{1}{P.z}\times P =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{A.z}\times A \ \ \ \ \frac{1}{B.z}\times B \ \ \ \ \frac{1}{C.z}\times C
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
\alpha^{'} \\
\beta^{'} \\
\gamma^{'}
\end{bmatrix}
\]
进一步，由于\(P.z,A.z,B.z,C.z\) 为标量，从而有:
\[ P =
\begin{bmatrix}A \ \ \ \ B \ \ \ \ C
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
\frac{\alpha^{'}}{A.z}\\
\frac{\beta^{'}}{B.z} \\
\frac{\gamma^{'} }{C.z}
\end{bmatrix} \times \frac{1}{P.z}
\]
而这正是P的重心坐标形式。但是，我们根本不知道\(P\)的任何信息。
所幸，我们知道，重心坐标实际上就是 \(A,B,C\)的凸组合，有\(\alpha+\beta+\gamma=1\) ,因此，有：
\[(\frac{\alpha^{'}}{A.z}+\frac{\beta^{'}}{B.z} +\frac{\gamma^{'} }{C.z})\times \frac{1}{P.z}=1
\]
从而很轻易得到 \(\frac{1}{P.z}\)。
最终得到观察坐标下的重心坐标 \(\alpha,\beta,\gamma\) 分别为：
\[\alpha=\frac{\alpha^{'}}{A.z}/(\frac{\alpha^{'}}{A.z}+\frac{\beta^{'}}{B.z} +\frac{\gamma^{'} }{C.z})
\]
\[\beta=\frac{\beta^{'}}{A.z}/(\frac{\alpha^{'}}{A.z}+\frac{\beta^{'}}{B.z} +\frac{\gamma^{'} }{C.z})
\]
\[\gamma=\frac{\gamma^{'}}{A.z}/(\frac{\alpha^{'}}{A.z}+\frac{\beta^{'}}{B.z} +\frac{\gamma^{'} }{C.z})
\]
并且，观察坐标下的 \(z\) 就等于经透视变换后的 \(w\) 分量。
