积分公式 100 条（大学数学系常用）

一、基本积分公式（1–17）

1. ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n≠−1
2. ∫ 1/x dx = ln|x| + C
3. ∫ eˣ dx = eˣ + C
4. ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C
5. ∫ sin x dx = −cos x + C
6. ∫ cos x dx = sin x + C
7. ∫ sec²x dx = tan x + C
8. ∫ csc²x dx = −cot x + C
9. ∫ sec x tan x dx = sec x + C
10. ∫ csc x cot x dx = −csc x + C
11. ∫ tan x dx = ln|sec x| + C
12. ∫ cot x dx = ln|sin x| + C
13. ∫ sec x dx = ln|sec x + tan x| + C
14. ∫ csc x dx = ln|csc x − cot x| + C
15. ∫ dx/√(a²−x²) = arcsin(x/a) + C
16. ∫ dx/(a²+x²) = (1/a) arctan(x/a) + C
17. ∫ dx/(x√(x²−a²)) = (1/a) arcsec(|x|/a) + C

二、三角积分（18–41）

1. ∫ sin²x dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C
2. ∫ cos²x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C
3. ∫ tan²x dx = tan x − x + C
4. ∫ cot²x dx = −cot x − x + C
5. ∫ sin³x dx = −(1/3)(2+sin²x)cos x + C
6. ∫ cos³x dx = (1/3)(2+cos²x)sin x + C
7. ∫ tan³x dx = (1/2)tan²x + ln|cos x| + C
8. ∫ cot³x dx = −(1/2)cot²x − ln|sin x| + C
9. ∫ sec³x dx = (1/2)sec x tan x + (1/2)ln|sec x+tan x| + C
10. ∫ csc³x dx = −(1/2)csc x cot x + (1/2)ln|csc x−cot x| + C
11. ∫ sinⁿx dx = −(1/n)sinⁿ⁻¹x cos x + (n−1)/n ∫ sinⁿ⁻²x dx
12. ∫ cosⁿx dx = (1/n)cosⁿ⁻¹x sin x + (n−1)/n ∫ cosⁿ⁻²x dx
13. ∫ tanⁿx dx = (1/(n−1))tanⁿ⁻¹x − ∫ tanⁿ⁻²x dx
14. ∫ cotⁿx dx = −(1/(n−1))cotⁿ⁻¹x − ∫ cotⁿ⁻²x dx
15. ∫ secⁿx dx = (1/(n−1))tan x secⁿ⁻²x + (n−2)/(n−1)∫ secⁿ⁻²x dx
16. ∫ cscⁿx dx = −(1/(n−1))cot x cscⁿ⁻²x + (n−2)/(n−1)∫ cscⁿ⁻²x dx
17. ∫ sin(ax)sin(bx)dx = sin(a−b)x/[2(a−b)] − sin(a+b)x/[2(a+b)] + C
18. ∫ cos(ax)cos(bx)dx = sin(a−b)x/[2(a−b)] + sin(a+b)x/[2(a+b)] + C
19. ∫ sin(ax)cos(bx)dx = −cos(a−b)x/[2(a−b)] − cos(a+b)x/[2(a+b)] + C
20. ∫ x sin x dx = sin x − x cos x + C
21. ∫ x cos x dx = cos x + x sin x + C
22. ∫ xⁿ sin x dx = −xⁿ cos x + n∫ xⁿ⁻¹ cos x dx
23. ∫ xⁿ cos x dx = xⁿ sin x − n∫ xⁿ⁻¹ sin x dx
24. ∫ sinⁿx cosᵐx dx = −sinⁿ⁻¹x cosᵐ⁺¹x/(n+m)+(n−1)/(n+m)∫ sinⁿ⁻²x cosᵐx dx

三、指数与对数积分（42–48）

1. ∫ xe^(ax) dx = (1/a²)(ax−1)e^(ax) + C
2. ∫ xⁿe^(ax) dx = (1/a)xⁿe^(ax) − (n/a)∫ xⁿ⁻¹e^(ax) dx
3. ∫ e^(ax)sin(bx) dx = e^(ax)(a sin bx − b cos bx)/(a²+b²) + C
4. ∫ e^(ax)cos(bx) dx = e^(ax)(a cos bx + b sin bx)/(a²+b²) + C
5. ∫ ln x dx = x ln x − x + C
6. ∫ xⁿ ln x dx = xⁿ⁺¹/(n+1)² [(n+1)ln x − 1] + C
7. ∫ 1/(x ln x) dx = ln|ln x| + C

四、双曲函数积分（49–58）

1. ∫ sinh x dx = cosh x + C
2. ∫ cosh x dx = sinh x + C
3. ∫ tanh x dx = ln(cosh x) + C
4. ∫ coth x dx = ln|sinh x| + C
5. ∫ sech x dx = arctan|sinh x| + C
6. ∫ csch x dx = ln|tanh(x/2)| + C
7. ∫ sech²x dx = tanh x + C
8. ∫ csch²x dx = −coth x + C
9. ∫ sech x tanh x dx = −sech x + C
10. ∫ csch x coth x dx = −csch x + C

五、反三角函数积分（59–67）

1. ∫ arcsin x dx = x arcsin x + √(1−x²) + C
2. ∫ arccos x dx = x arccos x − √(1−x²) + C
3. ∫ arctan x dx = x arctan x − (1/2)ln(1+x²) + C
4. ∫ x arcsin x dx = (2x²−1)/4 arcsin x + x√(1−x²)/4 + C
5. ∫ x arccos x dx = (2x²−1)/4 arccos x − x√(1−x²)/4 + C
6. ∫ x arctan x dx = (x²+1)/2 arctan x − x/2 + C
7. ∫ xⁿ arcsin x dx = 1/(n+1)[xⁿ⁺¹ arcsin x − ∫ xⁿ⁺¹/√(1−x²)dx]
8. ∫ xⁿ arccos x dx = 1/(n+1)[xⁿ⁺¹ arccos x + ∫ xⁿ⁺¹/√(1−x²)dx]
9. ∫ xⁿ arctan x dx = 1/(n+1)[xⁿ⁺¹ arctan x − ∫ xⁿ⁺¹/(1+x²)dx]

六、含 √(a²+u²) 的积分（68–76），a>0

1. ∫ √(a²+x²) dx = (x/2)√(a²+x²) + (a²/2)ln(x+√(a²+x²)) + C
2. ∫ x²√(a²+x²) dx = (x/8)(a²+2x²)√(a²+x²) − (a⁴/8)ln(x+√(a²+x²)) + C
3. ∫ √(a²+x²)/x dx = √(a²+x²) − a ln|(a+√(a²+x²))/x| + C
4. ∫ √(a²+x²)/x² dx = −√(a²+x²)/x + ln(x+√(a²+x²)) + C
5. ∫ dx/√(a²+x²) = ln(x+√(a²+x²)) + C
6. ∫ x²/√(a²+x²) dx = (x/2)√(a²+x²) − (a²/2)ln(x+√(a²+x²)) + C
7. ∫ dx/(x√(a²+x²)) = −(1/a)ln|(√(a²+x²)+a)/x| + C
8. ∫ dx/(x²√(a²+x²)) = −√(a²+x²)/(a²x) + C
9. ∫ dx/(a²+x²)^(3/2) = x/(a²√(a²+x²)) + C

七、含 √(u²−a²) 的积分（77–85），a>0

1. ∫ √(x²−a²) dx = (x/2)√(x²−a²) − (a²/2)ln|x+√(x²−a²)| + C
2. ∫ x²√(x²−a²) dx = (x/8)(2x²−a²)√(x²−a²) − (a⁴/8)ln|x+√(x²−a²)| + C
3. ∫ √(x²−a²)/x dx = √(x²−a²) − a arccos(a/|x|) + C
4. ∫ √(x²−a²)/x² dx = −√(x²−a²)/x + ln|x+√(x²−a²)| + C
5. ∫ dx/√(x²−a²) = ln|x+√(x²−a²)| + C
6. ∫ x²/√(x²−a²) dx = (x/2)√(x²−a²) + (a²/2)ln|x+√(x²−a²)| + C
7. ∫ dx/(x²√(x²−a²)) = √(x²−a²)/(a²x) + C
8. ∫ dx/(x²−a²)^(3/2) = −x/(a²√(x²−a²)) + C

八、含 √(a²−u²) 的积分（85–91），a>0

1. ∫ √(a²−x²) dx = (x/2)√(a²−x²) + (a²/2)arcsin(x/a) + C
2. ∫ x²√(a²−x²) dx = (x/8)(2x²−a²)√(a²−x²) + (a⁴/8)arcsin(x/a) + C
3. ∫ √(a²−x²)/x² dx = −√(a²−x²)/x − arcsin(x/a) + C
4. ∫ x²/√(a²−x²) dx = −(x/2)√(a²−x²) + (a²/2)arcsin(x/a) + C
5. ∫ dx/(x√(a²−x²)) = −(1/a)ln|(a+√(a²−x²))/x| + C
6. ∫ dx/(x²√(a²−x²)) = −√(a²−x²)/(a²x) + C
7. ∫ dx/(a²−x²)^(3/2) = −x/(a²√(a²−x²)) + C

九、有理函数积分（92–97）

1. ∫ dx/(x(a+bx)) = (1/a)ln|x/(a+bx)| + C
2. ∫ dx/(x²(a+bx)) = −1/(ax) + (b/a²)ln|(a+bx)/x| + C
3. ∫ dx/((x+a)(x+b)) = (1/(b−a))ln|(x+a)/(x+b)| + C, a≠b
4. ∫ dx/(a²−x²) = (1/(2a))ln|(a+x)/(a−x)| + C
5. ∫ √(a²−x²)/x dx = √(a²−x²) − a ln|(a+√(a²−x²))/x| + C (同70号形式)
6. ∫ dx/(x²+a²)² = x/(2a²(x²+a²)) + (1/(2a³))arctan(x/a) + C

十、其他常用积分（98–100）

1. ∫ sin²(ax)cos²(ax) dx = (1/8)x − (1/32)sin(4ax) + C
2. ∫ x²e^(ax) dx = e^(ax)(a²x²−2ax+2)/a³ + C
3. ∫ sinⁿx cosᵐx dx 的第二种形式（奇数次幂情形）：令 t = sin x 或 t = cos x 代换后化为多项式积分

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参考来源：

• Gilbert Strang & Edwin "Jed" Herman, Calculus (OpenStax), Appendix B: Table of Integrals
• 同济大学数学教研室编，《高等数学（第三版）》，高等教育出版社，1988
• Mathematics LibreTexts, Table of Integrals (CC BY-NC-SA)