模拟CMOS与系统论

作为一个模拟IC设计初学者，在学习了经典著作《模拟CMOS集成电路设计》（拉扎维）后有一些想法和疑问想和大家讨论，所以开启了这个专栏。在接触集成电路前本人主要从事硬件电路设计，也了解一些嵌入式和自控原理，所以想把之前的一些知识和这门学额结合一下。在初步学习了这本书后发现其中很多地方可以结合系统论相关知识理解，所以此专栏想和大家讨论一下模拟CMOS和系统论相关知识，希望大家多多指正。

虽然我们主要讨论的是模拟CMOS，不过毕竟系统论作为更底层的学科，所以我想先简单讨论一下系统论相关的基础知识。

首先当然要解答为什么要用系统论来指导模拟CMOS设计，我们从半导体物理到固体物理，再到器件物理，最后到模拟CMOS设计，在最终的设计层面我们其实是在对复杂非线性物理系统进行降维与抽象控制。

如果只停留在物理层面，晶体管是一个受量子力学和半导体物理支配的非线性元件（涉及载流子漂移、扩散、沟道长度调制等），其大信号电流方程高度复杂且高度依赖工艺参数。系统论的引入，使得工程设计成为可能。

我想，关于模电的小信号分析大家已经听到耳朵起茧了，不过我想通过泰勒展开来严谨的证明这一点，任何连续可导的非线性物理系统，在某一直流工作点（附近，都可以被近似为线性时不变（LTI）系统。以 MOS 管的漏极电流为例，在工作点 VGS,VDS处进行一阶多项式展开：

提出交流小信号分量，这就严谨地推导出了我们熟知的跨导与输出电导：

接下来解决一个数学上的小问题，这也是我在学习信号系统等学科时的一个小问题：为什么要千方百计的把时域问题转换为频域问题。在电路分析的时候频域分析可以简化时域分析上难解的微积分问题，在结果分析时频域能揭示一个电路各种特性，例如稳定性等问题。但是，为什么会产生这样的现象？关于这个问题我有一点点自己的看法，我认为主要有两个点：LTI 系统的特征函数，以及空间的映射与正交投影。

在线性代数中，我们学过矩阵的特征值与特征向量：对于矩阵，如果存在向量使得，那么就是特征向量，它经过矩阵变换后，方向不变，仅仅是长度被拉伸或压缩了倍。当时老师说过一句话：这个公式很强大，它把两个矩阵相乘问题转换成了一个数和向量相乘。

将这个概念映射到连续时间的系统论中：矩阵变成了 系统算子（在电路中，就是由电阻、电容、电感和有源器件构成的微积分方程或卷积运算）。向量变成了 时间函数。

我们想要一个函数，当它通过任何 LTI 系统时，其波形（形状）绝对不会发生改变，仅仅是幅度被放大/缩小，或者相位发生偏移。它就是以自然常数为底的指数函数：（其中是复频率）。

假设一个 LTI 系统的冲激响应为，输入信号为。根据系统论基础，输出是输入与冲激响应的卷积：

将代入方程：

提取出与积分变量无关的：

公式等式右边积分项的结果仅仅是变量的一个复常数，它与时间毫无关系，我们将其定义为，也就是系统传递函数（拉普拉斯变换）。

于是方程化简为：

所以很容易发现，经过任意线性系统，出来的依然是，仅仅乘上了一个复数常数。方波输入 RC 低通滤波电路会变成圆滑的电容充放电曲线（波形改变了），但正弦波（复指数的组合）输入 RC 电路，输出绝对还是完美的正弦波，只是幅度和相位变了。如果我们把任意复杂的输入信号全部拆解成一堆的叠加，系统就可以对它们进行独立的处理。

既然知道了要把信号拆解成的组合（我们在这里为了直观，主要讨论无阻尼的纯频域，即，那么接下来的问题是：对于一个未知的复杂信号，我怎么知道它里面包含了多少某个特定频率的成分？

这里就要使用到傅里叶变换的核心操作：

这个公式的物理意义是极其暴力的相关性检测（投影）。

复指数信号簇构成了一个完备的正交基底。当把与某一个特定的测试频率进行内积时，由于不同频率的复指数函数是正交的（即它们相乘并在无穷域上积分等于 0），在这个积分过程中中频率不等于的成分，与相乘后仍然是一个震荡的交流信号，在积分后正负面积抵消为 0。而中频率正好等于的成分，与相乘后，指数项抵消（），瞬间变成了一个直流常量，在积分时这个常数会无限累加，爆发出一个极其强烈的峰值。这个运算，就是一种无比精准的频率检测器。下面是一个简单的小程序的演示。