数学分析教科书（国内篇）：几套值得关注的数学分析教材
上一篇主要介绍了两本数学分析习题书：谢惠民、恽自求、易法槐、钱定边《数学分析习题课讲义》和裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》。如果说习题书解决的是“如何训练证明能力、如何做题”的问题，那么教材解决的就是另一个更基础的问题：我们应该如何第一次系统地进入数学分析？
数学分析教材很多，不同学校、不同老师、不同学生的口味也不一样。有的教材强调古典分析的细腻估计，有的教材更重视现代观点，有的教材适合初学，有的教材适合高观点重读。下面介绍几套国内比较有代表性的数学分析教材：
- 史济怀、常庚哲《数学分析教程》；
- 张筑生《数学分析新讲》；
- 陈纪修、於崇华、金路《数学分析》；
- 于品《数学分析之课程讲义》。
这篇文章不是做“唯一正确排名”，而是从一个数学专业学生的角度，说说这些书大致适合什么人、优点在哪里、问题又在哪里。
陈纪修、於崇华、金路《数学分析》
陈纪修、於崇华、金路的《数学分析》是复旦大学系统中比较经典的一套教材。它的整体风格可以概括为：简洁、流畅、亲民。
这套书没有特别强烈的个人风格，也不追求高观点扩展。它的主要优点是适合作为初学教材。它的内容安排比较传统，基本覆盖数学分析课程的常规主线：一元函数极限与连续、微分学、积分学、级数、多元函数、重积分、曲线曲面积分等。对于多数数学专业本科生来说，用它完成第一遍数学分析学习是没有问题的。
此外，这套书有配套习题解答，这对自学者比较友好。数学分析初学阶段，很多题目的困难并不在于“完全不会”，而在于卡在某个估计、某个构造、某个定理调用上。如果有配套解答，可以帮助学生及时校正思路。
史济怀、常庚哲《数学分析教程》
史济怀、常庚哲的《数学分析教程》是中国科学技术大学系统中影响比较大的数学分析教材之一。整体来看，这套书最大的特点是：平易近人，容易读懂，同时又不至于太浅。
它的行文比较流畅，不像有些教材那样上来就给学生制造很强的压迫感。对于初学数学分析的学生来说，这一点其实很重要。数学分析本身已经有足够多的新概念：极限、连续、可微、可积、一致收敛、函数项级数、多元函数、重积分等等。如果教材写得过于压缩，初学者很容易被符号和证明压垮。这套书在这方面比较友好。它不会过分追求“升级内容”，也不会频繁把学生带到后续课程中去，而是比较老实地围绕数学分析的基本内容展开。因此，对于想稳扎稳打学完数学分析主线的学生来说，它是可以作为主教材阅读的。
张筑生《数学分析新讲》
张筑生先生的《数学分析新讲》是一套非常有个人特色的教材。它不是那种机械排列定义、定理、证明、例题的教材，而是明显能看出作者在内容组织上花了很多心思。这套书最突出的优点是：条理清楚，叙述自然，很适合精读。
很多数学分析教材的问题在于，它们虽然内容完整，但读起来像定理清单。读者知道每一节在讲什么，却不一定知道为什么这样安排。张筑生这套书则不同，它更重视叙述的连贯性，会尽量让读者理解一个概念为什么出现，一个定理为什么自然。对于初学者来说，这种写法非常友好。它能帮助读者建立数学分析的整体感，而不只是记住零散结论。
这套书的多元微积分部分写得尤其值得关注。相较于一些传统教材把多元微积分处理成一堆偏导数、重积分、曲线曲面积分公式，张筑生的处理更有结构感。其中，向量值函数、微分、隐函数、反函数等部分能看出一些现代分析和几何观点的影子。某些地方会让人联想到 Rudin 的写法，尤其是对向量值函数、映射和微分结构的处理，不只是停留在计算层面，而是试图让读者看到多元分析背后的几何结构。这对数学专业学生非常有帮助。因为多元函数部分如果只按计算来学，很容易学成“高等数学下册”的加强版；但如果从映射、微分、局部线性化、隐函数定理等角度理解，它就会自然通向微分几何、微分拓扑、泛函分析和非线性分析。
不过，《数学分析新讲》也有一个非常明显的缺点：习题太少，甚至可以说不适合作为单独训练用书。 因此，这套书很适合“读”，但不适合单独“练”。如果使用它作为主教材，最好配合谢惠民《数学分析习题课讲义》或其他习题集。这样既能享受张筑生教材清晰自然的讲解，又能通过高质量题目补上训练量。
于品《数学分析之课程讲义》
于品《数学分析之课程讲义》是一套非常不一样的数学分析讲义。它是清华大学丘成桐数学英才班使用的教材之一，风格明显区别于传统数学分析教材。如果说多数国内数学分析教材是在讲“古典数学分析”，那么于品这套讲义更接近一种高观点分析导论。它的风格与 Zorich《数学分析》有些相似：内容更现代，观点更几何，涉及范围也明显更广。
这套讲义中会出现大量后续课程的内容或思想，例如实分析、测度论、微分流形、几何观点等。它不是单纯教你怎样证明数列极限、怎样计算积分、怎样判断级数，而是试图让学生从更高的层面理解分析学的结构。
比如，学习多元微积分时，如果从映射、微分形式、流形、局部坐标等角度理解，就能更早看到后续数学的统一结构。学习积分时，如果能提前看到测度论的思想，也会更清楚 Riemann 积分的局限在哪里。从这个角度看，于品这套讲义的价值很高。它适合基础强、接受能力强、希望尽早接触现代数学观点的学生。
但是对于大多数初学者来说，如果一开始就读于品这类讲义，可能会觉得内容太升级，难以消化。它更适合两类学生：一类是基础非常强、希望接受高强度训练的学生；另一类是已经学过一遍传统数学分析，希望从现代观点重新理解分析学的人。因此总体来说这套书：内容升级，观点现代，偏几何，适合强基础学生或二刷数学分析；不太适合普通初学者作为唯一教材。
总结
数学分析教材没有绝对最优，只有适不适合自己的阶段。初学时，最重要的是把基本概念、基本定理、基本证明方法学扎实。此时教材不必过分高级，清楚、完整、配合习题才是最重要的。等到有了一定基础，再回过头读更有观点的教材，才更容易体会其中的妙处。整体而言，史济怀、常庚哲适合稳扎稳打；张筑生适合精读体会；陈纪修、於崇华、金路适合初学入门；于品适合高观点进阶。