069、连续轨迹运动：样条插值（B样条）

069、连续轨迹运动：样条插值（B样条）

一、从一次现场调试的“抖动”说起

去年在调试一台六轴协作机器人时，遇到一个诡异现象：当末端执行器沿着一条看似平滑的曲线运动时，在几个特定位置会出现肉眼可见的“抖动”。示波器抓取电机编码器数据，发现速度曲线在那些点附近出现了不连续的尖峰。检查了PID参数、加减速规划，都没问题。最后把目光锁定在轨迹插值算法上——当时用的是三次样条插值，但控制点数量较多时，局部修改一个点会导致整条曲线“波浪式”变形，这就是典型的样条插值“全局性”问题。

后来换成B样条，抖动消失了。B样条最吸引人的特性就是“局部支撑”——修改一个控制点只影响附近一小段曲线，不会像三次样条那样“牵一发而动全身”。今天这篇笔记，就聊聊B样条在运动控制中的实战用法，重点放在如何把它塞进嵌入式实时系统里。

二、B样条的核心：基函数与局部性

先别急着看公式，理解B样条的关键在于“分段”和“权重”。三次样条是用一个多项式拟合整段曲线，B样条则是用多个低次多项式片段拼接，每个片段只受附近几个控制点影响。

B样条的数学定义是：

[
C(u) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \cdot P_i
]

其中 (P_i) 是控制点，(N_{i,p}(u)) 是p次B样条基函数。这个基函数是通过Cox-de Boor递推公式定义的，但实际写代码时，我们更关心的是如何高效计算。

基函数的递推关系（别被吓到，代码里就几行）：

对于0次基函数：
[<