专题：立体几何 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：等积法+最短路径问题 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★★
【题目】
(26年湛江一中高一期中考试第19题)
如图，在三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，\(AB=AC=AA_1=a\)，\(∠BAC=∠A_1 AB=∠A_1 AC\)，点\(E，F\)分别为棱\(A_1 C_1，CC_1\)的中点.
（2）若\(a=2\)，且三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)是直棱柱.
（i）求点\(E\)到平面\(ABF\)的距离；
（ii）求一只蚂蚁沿三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)表面从点\(B\)爬行到点\(E\)的最短路程.
【分析】
第一问：
想直接求\(V_1，V_2\)不太可能，要求它们之比\(\dfrac{V_2}{V_1 }\)应该想到利用割补法，寻找同高或同底的几何体，求出它们之间的比值；
延长\(AC，EF\)交于点\(H\)，连接\(BH\)，易得\(AC=2CH，EF=FH\)，
\(\left\{
\begin{array}{c}
V_{F-ABC}=2V_{F-BCH}=\dfrac{2}{3} V_{F-ABH}\\
V_{A-BEF}=V_{A-BFH}=V_{F-ABH}
\end{array}
\right.
⇒V_{F-ABC}=\dfrac{2}{3} V_{A-BEF}=\dfrac{2}{3} V_2\)，
又\(V_{F-ABC}=\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{2} V_1=\dfrac{1}{6} V_1\)，所以\(\dfrac{2}{3} V_2=\dfrac{1}{6} V_1⇒\dfrac{V_2}{V_1 }=\dfrac{1}{4}\)；
第二问：
若\(a=2\)，且三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)是直棱柱，
则有\(AB=AC=AA_1=2\)，\(∠BAC=∠A_1 AB=∠A_1 AC=90^\circ\)，
即三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)可看成边长为\(2\)的正方体一部分，且\(V_1=4⟹V_2=1\)；
要求点\(E\)到平面\(ABF\)的距离，直接找出距离（即证明过点\(E\)的一线段垂直平面\(ABF\)，有些难度，更何况考生还没学到线面垂直），应该利用等积法：
设点\(E\)到平面\(ABF\)的距离为\(h\)，由\(V_{E-ABF}=V_{A-BEF}⇒\dfrac{1}{3} S_{∆ABF}×h=1\)，
而根据题意可得，\(∆ABF\)中\(AB=2，AF=\sqrt{5} ，BF=3\)，
所以\(∠BAF=90^\circ，S_{∆ABF}=\sqrt{5}\)；
所以\(\dfrac{\sqrt{5}}{3}h=1⇒h=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)；
第三问：
立体几何体表面的最短路径，常见的方法是把几何体表面展开，但是本题中应该如何展开呢？
有五种方式：
① 平面\(BCC_1 B+\)平面\(CAA_1 C_1\)，沿着\(CC_1\)展开，如下图；
最短路径为\(BE=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2} +1)^2} =\sqrt{13+4\sqrt{2} }\)；
② 平面\(BCC_1 B+\)平面\(B_1 C_1 A_1\)，沿着\(B_1 C_1\)展开，如下图；
最短路径为\(BE=\sqrt{(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2+(\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2} =\sqrt{9+2\sqrt{2} }\)；
③ 平面\(ABB_1 A_1+\)平面\(A_1 B_1 C_1\)，沿着\(A_1 B_1\)展开，如下图；
最短路径为\(BE=\sqrt{(2+1)^2+2^2} =\sqrt{13}\)；
④ 平面\(ABB_1 A_1+\)平面\(ACC_1 A_1\)，沿着\(A_1 A\)展开，如下图；
最短路径为\(BE=\sqrt{(2+1)^2+2^2} =\sqrt{13}\)；
⑤ 平面\(ABC+\)平面\(ACC_1 A_1\)，沿着\(A_1 B_1\)展开，如下图；
最短路径为\(BE=\sqrt{(2+2)^2+1^2} =\sqrt{17}\)；
由于\(\sqrt{9+2\sqrt{2} } <\sqrt{13} <\sqrt{17} <\sqrt{13+4\sqrt{2} }\)，所以最短路径为\(\sqrt{9+2\sqrt{2} }\).
【解答】
第一问：
延长\(AC，EF\)交于点\(H\)，连接\(BH\)，
\(∵AC||A_1 C_1\)，\(F\)为\(CC_1\)的中点，\(∴EF=FH\)，
又点\(E\)为棱\(A_1 C_1\)的中点，\(∴AC=2CH\)，
\(∵\dfrac{V_{F-ABC}}{V_{F-BCH}} =\dfrac{S_{∆ABC}}{S_{∆HBC} }=\dfrac{AC}{CH}=2\)，\(∴V_{F-ABC}=\dfrac{2}{3} V_{F-ABH}\)，
\(∵\dfrac{V_{A-BEF}}{V_{A-BFH} }=\dfrac{S_{∆BEF}}{S_{∆BFH}} =\dfrac{EF}{FH }=1\)，\(∴V_{A-BEF}=V_{A-BFH}=V_{F-ABH}\)，
\(∴V_{F-ABC}=\dfrac{2}{3} V_{A-BEF}=\dfrac{2}{3} V_2\)，
\(∵F\)为\(CC_1\)的中点，
\(∴V_{F-ABC}=V_{A-BCF}=\dfrac{1}{2} V_{A-BCC_1}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3} V_1=\dfrac{1}{6} V_1\)，
\(∴\dfrac{2}{3} V_2=\dfrac{1}{6} V_1\)，即\(\dfrac{V_2}{V_1 }=\dfrac{1}{4}\)；
第二问：
若\(a=2\)，且三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)是直棱柱，
则有\(AB=AC=AA_1=2，∠BAC=∠A_1 AB=∠A_1 AC=90^\circ\)，
\(∴V_1=AA_1×S_{∆ABC}=2×\dfrac{1}{2}×2×2=4\)，
由（1）可得\(V_2=1\)；
设点\(E\)到平面\(ABF\)的距离为\(h\)，
\(∵V_2=V_{E-ABF}=\dfrac{1}{3} S_{∆ABF}×h\)，
\(∴\dfrac{1}{3} S_{∆ABF}×h=1\)，即\(h=\dfrac{3}{S_{∆ABF} }\)，
易得\(∆ABF\)中\(AB=2\)，\(AF=\sqrt{AC^2+CF^2} =\sqrt{5}\)，\(BF=\sqrt{BC^2+CF^2} =3\)，
\(∴BF^2=AF^2+AB^2\)，即\(∠BAF=90^\circ\)，
\(∴S_{∆ABF}=\dfrac{1}{2}×AB×AF=\sqrt{5}\)；
\(∴h=\dfrac{3}{S_{∆ABF} }=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)，即点\(E\)到平面\(ABF\)的距离为\(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)；
第三问：
① 若蚂蚁沿着平面\(BCC_1 B\)和平面\(CAA_1 C_1\)爬行，将两个平面沿着\(CC_1\)展开成一个面；
易得此时最短路径为\(BE=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2} +1)^2} =\sqrt{13+4\sqrt{2} }\)；
② 若蚂蚁沿着平面\(BCC_1 B\)和平面\(B_1 C_1 A_1\)，将两个平面沿着\(B_1 C_1\)展开成一个面；
易得最短路径为\(BE=\sqrt{(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2+(\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2} =\sqrt{9+2\sqrt{2} }\)；
③ 若蚂蚁沿着平面\(ABB_1 A_1\)和平面\(A_1 B_1 C_1\)，将两个平面沿着\(A_1 B_1\)展开成一个面；
易得最短路径为\(BE=\sqrt{(2+1)^2+2^2} =\sqrt{13}\)；
④ 若蚂蚁沿着平面\(ABB_1 A_1\)和平面\(ACC_1 A_1\)，将两个平面沿着\(A_1 A\)展开成一个面；
最短路径为\(BE=\sqrt{(2+1)^2+2^2} =\sqrt{13}\)；
⑤ 若蚂蚁沿着平面\(ABC\)和平面\(ACC_1 A_1\)，将两个平面沿着\(A_1 B_1\)展开成一个面；
最短路径为\(BE=\sqrt{(2+2)^2+1^2} =\sqrt{17}\)；
由于\(\sqrt{9+2\sqrt{2} } <\sqrt{13} <\sqrt{17} <\sqrt{13+4\sqrt{2} }\)，
所以一只蚂蚁沿三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)表面从点\(B\)爬行到点\(E\)的最短路程为\(\sqrt{9+2\sqrt{2} }\).