【数据驱动】数据驱动动态系统分析的流形学习附matlab代码
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🔥 内容介绍
一、引言
动态系统产生的高维信号在众多科学领域中广泛存在。例如，许多生物医学信号可由少数潜在的、与生理相关的变量通过大量带噪声的传感器间接测量来建模。在这类应用中，分析和处理观测数据面临的一个显著挑战是，生成这些信号的系统通常是未知的。本章通过应用流形学习进行几何分析来解决这一问题。具体而言，我们展示了如何以纯粹的数据驱动方式使用流形学习，在几乎无需先验知识或模型假设的情况下，发现隐藏状态、动态以及观测函数，并获得整个系统的紧凑线性描述。主要假设是可获取的高维数据（系统的观测值）位于一个潜在的低维非线性流形上。此外，在将流形学习应用于时间序列时，关键信息通常会被忽略。时间序列被当作样本数据集处理，忽视了其蕴含的动态和时间顺序。我们应对了将时间依赖性纳入流形学习的挑战，并提出了一种纯粹的数据驱动方案。
二、流形学习基础与假设
我们假设可获取的高维数据位于一个低维非线性流形上。这一假设使得我们能够利用流形学习技术，从高维数据中挖掘出隐藏的结构。流形学习旨在通过数据点之间的几何关系，找到一个低维表示，这个表示能够保留数据的本质特征。在许多实际情况中，虽然我们不知道数据生成系统的具体形式，但基于流形假设，我们可以通过分析数据点之间的距离、邻域关系等，推断出数据在低维空间中的分布。
三、时间序列处理中的挑战与应对
在传统的流形学习应用于时间序列时，时间序列被简单地看作是样本集合，其内在的动态和时间顺序被忽视。然而，时间依赖性在理解动态系统行为中至关重要。为解决这一问题，我们提出一种数据驱动方案。
（一）基于扩散映射的内在表示推导
首先，我们应用扩散映射（diffusion maps）在无需系统先验知识的情况下推导内在表示。扩散映射通过构建数据点之间的扩散距离，捕捉数据的全局几何结构。它基于热扩散过程的类比，假设数据点就像在流形上扩散的粒子，通过计算粒子在不同时间步的分布，得到数据点之间的扩散距离，进而构建出低维表示。这种表示能够揭示数据在流形上的内在结构，即使在面对复杂的非线性关系时，也能有效地捕捉到数据的本质特征。
（二）构建近似线性动态表示
我们发现，即使对于高度非线性系统，通过扩散映射构建的表示其动态近似为线性。基于这一特性，我们提出了两种滤波框架。
基于线性观测器的滤波框架：利用线性观测器理论，我们可以基于构建的近似线性动态表示，对系统状态进行估计。线性观测器通过对系统输出的观测，结合系统的近似线性动态模型，推断出系统的隐藏状态。这种方法能够在考虑时间依赖性的同时，有效地处理系统的不确定性和噪声。
基于卡尔曼滤波器的滤波框架：卡尔曼滤波器是一种广泛应用于动态系统状态估计的方法。在我们的框架中，基于扩散映射得到的近似线性动态，卡尔曼滤波器能够根据前一时刻的状态估计和当前的观测值，递归地更新状态估计。它通过最小化估计误差的均方值，提供了一种最优的状态估计方法，特别适用于处理包含噪声的时间序列数据。
这两种滤波方法使我们能够将连续系统观测之间的固有动态和时间依赖性直接纳入扩散映射坐标中。我们证明这种方法类似于库普曼谱分析（Koopman spectral analysis），因为对给定测量应用扩散映射会生成状态空间的参数化，其动态具有线性漂移的已知解析形式。
四、实验验证
我们在模拟数据和来自各种应用的真实记录上展示了该方法的优势。
（一）模拟数据实验
通过生成具有不同复杂程度的非线性动态系统的模拟数据，我们验证了所提方法在恢复隐藏状态、揭示动态以及获得紧凑线性描述方面的有效性。在模拟实验中，我们可以精确控制数据生成过程，从而清楚地评估方法在不同条件下的性能。例如，我们可以改变系统的非线性程度、噪声水平以及时间序列的长度，观察方法的鲁棒性和准确性。实验结果表明，即使在高度非线性和高噪声的情况下，我们的方法仍能有效地从高维数据中提取出关键信息，准确地估计系统的隐藏状态和动态。
（二）真实数据实验
在真实记录的实验中，我们将方法应用于不同领域的实际数据，如生物医学信号、气象数据等。对于生物医学信号，我们能够从大量传感器测量的高维数据中，挖掘出与生理过程相关的潜在变量，揭示其动态变化。在气象数据应用中，我们的方法有助于从复杂的气象观测数据中提取出关键的气候模式和动态变化，为气象预测提供有力支持。这些真实数据实验进一步证明了该方法在实际应用中的可行性和有效性。
五、结论
本章提出的基于流形学习的数据驱动方案，有效地解决了动态系统高维信号分析中未知系统以及时间序列处理时忽视时间依赖性的问题。通过应用扩散映射推导内在表示，并结合基于线性观测器和卡尔曼滤波器的滤波框架，我们能够在几乎无需先验知识的情况下，发现系统的隐藏状态、动态和观测函数，并获得紧凑线性描述。模拟数据和真实记录实验验证了该方法的优势，为处理各类动态系统产生的高维信号提供了一种强大的工具。未来的研究可以进一步探索如何将该方法与其他机器学习和信号处理技术相结合，以应对更复杂的实际问题，如多模态数据融合、实时信号处理等。同时，对于不同类型的动态系统和数据特性，进一步优化方法的参数设置和性能表现也是值得深入研究的方向。
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
% Estimate local covariance matrices and the modified mahalanobis distance
% ***************************************************************@
function [mahDist] = modified_mahalanobis(yM)
%MODIFIED_MAHALANOBIS calculates estimated covariances and the modified
% mahalanobis distance for the input data yM (size: variables x samples)
%% Configuration
ncov = 15; % size of neighborhood for covariance
finalDim = 2; % final data dimension
%% Covariance estimation
inv_c = zeros(size(yM,1), size(yM,1), size(yM,2));
for i = 1+ncov:length(yM)-ncov
% Estimate covariance in short time windows
win = yM(:, i-ncov:i+ncov-1);
c = cov(win');
% Denoise via projection on "known" # of dimensions
[U, S, V] = svd(c);
inv_c(:,:,i) = V(:,1:finalDim) / (S(1:finalDim,1:finalDim)) * U(:,1:finalDim)';
end
% Complete missing covariance matrices (beginning and end) by duplication
for i = 1:ncov
inv_c(:,:,i) = inv_c(:,:,1+ncov);
end
for i = (length(yM)-ncov+1):length(yM)
inv_c(:,:,i) = inv_c(:,:,length(yM)-ncov);
end
%% Mahalanobis distance calculation
data = yM.';
mahDist = zeros(size(yM,2));
for i = 1:size(yM,2)
mahDist(:,i) = sum((bsxfun(@minus,data,data(i,:))*inv_c(:,:,i)).*bsxfun(@minus,data,data(i,:)),2);
end
mahDist = (mahDist + mahDist.');
end