最近公共祖先（LCA）
Luogu P3379【模板】最近公共祖先（LCA）
倍增能在 \(\log(n)\) 解决从 \(u\) 到 \(v\) 的路线问题。
我们往上跳，\(f[i][j]\) 表示 \(i\) 节点往上跳 \(2^j\) 步。
\(f[i][0]=father[i]\)
\(f[i][1]=f[f[i][0]][0]\)
\(f[i][2]=f[f[i][1]][1]\)
\(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]\)
实现：如果两个点往上跳的点一样就不跳并减半，最后求跳完之后两个节点的父亲。
先大步再小步。
预处理：建树，求每个点深度以及倍增跳步所达到的点。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
struct Node{int to,nxt;
}e[2*maxn];
int n,m,s,D;
int tot,h[maxn],dep[maxn],fa[maxn][20];
void Add(int u,int v){tot++;e[tot].to=v;e[tot].nxt=h[u];h[u]=tot;
}
void Dfs(int root,int cur,int fath){fa[root][0]=fath;D=max(D,cur);dep[root]=cur;for(int i=1;i<=log(dep[root])/log(2);i++){fa[root][i]=fa[fa[root][i-1]][i-1];}for(int i=h[root];i!=-1;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(v!=fath) Dfs(v,cur+1,root);}
}
int LCA(int a,int b){if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){if(dep[fa[a][i]]>=dep[b]) a=fa[a][i];}if(a==b) return a;for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){if(fa[a][i]!=fa[b][i]){a=fa[a][i];b=fa[b][i];}}return fa[a][0];
}
int main(){memset(h,-1,sizeof(h));scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);fa[s][0]=s;for(int i=1;i<=n-1;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);Add(x,y);Add(y,x);}Dfs(s,1,0);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",LCA(a,b));}return 0;
}
ybt 1552【例 1】点的距离
随便选一个点当作树根，然后在跳的时候记录跳的步数即可。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
struct Node{int to,nxt;
}e[2*maxn];
int n,m,s,D;
int tot,h[maxn],dep[maxn],fa[maxn][20];
void Add(int u,int v){tot++;e[tot].to=v;e[tot].nxt=h[u];h[u]=tot;
}
void Dfs(int root,int cur,int fath){fa[root][0]=fath;D=max(D,cur);dep[root]=cur;for(int i=1;i<=log(dep[root])/log(2);i++){fa[root][i]=fa[fa[root][i-1]][i-1];}for(int i=h[root];i!=-1;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(v!=fath) Dfs(v,cur+1,root);}
}
int LCA(int a,int b){int ans=0;if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){if(dep[fa[a][i]]>=dep[b]){a=fa[a][i];ans+=pow(2,i);} }if(a==b) return ans;for(int i=log(D)/log(2);i>=0;i--){if(fa[a][i]!=fa[b][i]){a=fa[a][i];b=fa[b][i];ans+=2*pow(2,i);}}return ans+2;
}
int main(){memset(h,-1,sizeof(h));scanf("%d",&n);fa[s][0]=s;for(int i=1;i<=n-1;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);Add(x,y);Add(y,x);}scanf("%d",&m);Dfs(1,1,0);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",LCA(a,b));}return 0;
}