像揉正方体一样开任意次方
前面展示了一种开平方的技术，详见 纯几何开平方法。
顺着这个思路，就像揉球一样就能把立方体揉成正方体，所有维度两两循环迭代，然后推广到开 n 次方，开平方的方法就成了元操作，这就是演绎推理，这是学生们最应该掌握的方法论。
这里再次给出引用算法 A。
设 N 为待开平方数，L 0 = N ， W 0 = 1 L_0=N，W_0=1L0=N，W0=1，L n ， W n L_n，W_nLn，Wn如下迭代：
R n + 1 = { L n + 1 = L n + W n 2 W n + 1 = N L n + 1 R_{n+1}=\left\{\begin{aligned}L_{n+1}&=\dfrac{L_n+W_n}{2}\\W_{n+1}&=\dfrac{N}{L_{n+1}}\end{aligned}\right.Rn+1=⎩⎨⎧Ln+1Wn+1=2Ln+Wn=Ln+1N
直到∣ L i − W i ∣ < ϵ |L_{i}-W_i|<\epsilon∣Li−Wi∣<ϵ，其中ϵ \epsilonϵ为给定的允许误差，要多小有多小。
基于此立意，组合算法 A，二生三，三生万物，现在试试开三次方。
设待开三次方数字 N，有一个体积 V = N，长宽高分别为 L = V，W = 1，H = 1 的立方体，下面展示：
- 步骤 1，固定 H，按 算法 A 调整 L 和 W，过程中确保L × W = V H L\times W=\dfrac{V}{H}L×W=HV；
- 步骤 2，固定 L，按 算法 A 调整 W 和 H，过程中确保W × H = V L W\times H=\dfrac{V}{L}W×H=LV；
- 步骤 3，固定 W，按 算法 A 调整 H 和 L，过程中确保H × L = V W H\times L=\dfrac{V}{W}H×L=WV；
- 重复 步骤 1 - 步骤 3，直到max { ∣ H i − L i ∣ , ∣ L i − W i ∣ , ∣ W i − H i ∣ } < ϵ \text{max}\{|H_{i}-L_i|,|L_{i}-W_i|,|W_{i}-H_i|\}<\epsilonmax{∣Hi−Li∣,∣Li−Wi∣,∣Wi−Hi∣}<ϵ；
以 V = 157，L = 157，W = 1，H = 1 为例，给出每一轮的三者值：
在执行每个步骤的时候，由于算法 A 收敛极快，便可关注结果而不是过程，这很类似玩魔方，因此并需要在每个步骤都将当前轮次的长方形变成正方形才继续，而是固定每个步骤的迭代次数为比如说 m = 3 or 5，算法变为：
- 固定 H(L or W)，按 算法 A 调整 L 和 W，迭代固定 m 次，过程中确保L × W = V H L\times W=\dfrac{V}{H}L×W=HV；
这般优化，就避免了很多无用功，比如将某个维度揉方了，结果在下一次调整中又不得不拉长，既然要的全局状态收敛，就一定要小碎步迭代。
优化后的算法，取 m =3，同样执行 157 开三次方，步骤数大大降低，收敛更快。
推而广之，这种操作可以对任何数开 n 次方，即将一个 n 维超立方体揉方：
- 在 n 个边中，每次选两个边E i ， E j E_i，E_jEi，Ej，基于算法 A 调整，L = E i ， W = E j ， N = V ∏ k = 1 k ≠ i , k ≠ j n E k L=E_i，W=E_j，N=\dfrac{V}{\prod_{\substack{k=1 \\ k \neq i,\; k \neq j}}^{n} E_k}L=Ei，W=Ej，N=∏k=1k=i,k=jnEkV，迭代 m 次；
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