数学 trick

基本不等式

1. 遇到 \(x=\dfrac{一次函数}{一次函数}\)，考虑分离出一个常数：
   例：（2024 浙江模拟）已知实数 \(x,y,x>3,xy+2x-3y=12,(x+y)_{\min}\)？

   解：考虑分离 \(x,y\)，由 \(xy+2x-3y=12\) 得到 \(x=\dfrac{12+3y}{y+2}\)。

   做到这里，如果把 \(x\) 这一坨带入回 \(x+y\) 求最值算不出来。思路卡住了怎么办？可以考虑将 \(x\) 变形一下：\(x=\dfrac{12+3y}{y+2}=\dfrac{3(y+2)+6}{y+2}=3+\dfrac{6}{y+2}\)，这样带回去 \(x+y=3+\dfrac{6}{y+2}+y=1+{\color{blue}\dfrac{6}{y+2}}+{\color{red}y+2} \ge 1+2\sqrt{\dfrac{6}{y+2}\cdot(y+2)}=1+2\sqrt{6}\)，当且仅当 \(\dfrac{6}{y+2}=y+2\) 即 \(y=\sqrt{6}-2\) 时取等，故最小值为 \(1+2\sqrt{6}\)。