089、机器人动力学：拉格朗日法

机器人动力学：拉格朗日法

从一次机械臂抖动说起

去年调试一台六轴协作机器人，末端负载从0.5kg换到2kg，位置环PID参数调了三轮，静态精度勉强达标。一跑轨迹，末端抖得像筛糠。同事说“加个低通滤波”，我试了，抖动小了，但轨迹跟踪滞后明显。后来翻出动力学模型，用拉格朗日法算了一遍关节力矩，才发现问题出在重力补偿项没更新——负载变了，重力项还是出厂标定值。这事让我明白：运动控制做到深处，动力学不是选修课，是必修课。

拉格朗日法到底在算什么

拉格朗日法本质上是能量法。你不需要像牛顿-欧拉那样画受力图、列平衡方程，只需要盯着系统的动能和势能。对于机器人这种多刚体系统，这简直是救星——关节一多，牛顿法能把人算到怀疑人生。

核心公式就一个：

L = T - V τ = d/dt(∂L/∂q̇) - ∂L/∂q

L是拉格朗日量，T是总动能，V是总势能，q是广义坐标（对机器人就是关节角度），τ是广义力（关节力矩）。

别被偏微分符号吓到。实际干活时，你只需要做三件事：

1. 写出每个连杆的动能和势能
2. 对关节角度和角速度求偏导
3. 组装成标准形式：M(q)q̈ + C(q,q̇)q̇ + G(q) = τ

二连杆机械臂的手算实战

拿最简单的二连杆平面臂开刀。连杆1长L1，质量m1，质心在连杆中点；连杆2长L2，质量m2，质心也在中点。关节角度q1、q2。