ML-4360 3D视觉 笔记

Lecture 2 - Image Formation

1. 2D Points

2D的点可以用常规的非齐次坐标 (inhomogeneous coordinates)表示，也可以用齐次坐标 (homogeneous coordinates)表示，增加了一个维度，其中(即不包括原点) 称为投影空间。齐次坐标下坐标本身的等比例缩放不改变它所表示的点，这正是齐次的意义。

这两种表达可以相互转换。

• 非齐次 -> 齐次：增加一个维度并设为 1 变为增广向量 (augmented vector)，然后乘以任意的进行缩放。

• 齐次 -> 非齐次：上面的逆过程，除以使第三个维度变为1，然后去掉最后一个维度。

对于= 0的点称为理想点 (ideal points)或无穷远点 (points at infinity)，这些点不能用非齐次坐标表示。

如下图所示，增广向量的终点所在的平面 (= 1) 就对应了非齐次坐标平面，而齐次坐标下从原点出发的那一条射线上的所有点 (除了原点) 都代表非齐次坐标的同一个点。

非齐次坐标与齐次坐标的映射关系

2. 2D Lines

2D的线也可以用齐次坐标表示，其定义为，同时也满足. 可以对其进行缩放以规范化 (normalize)，即令，其中，是垂直于直线的法向量，是直线到原点的距离。

对于这条直线称其为无穷远线 (line at infinity)，它穿过所有理想点。

3. Cross Product

两个向量的叉乘 (Cross product)可以表示为一个反对称矩阵和一个向量的乘法：

4. 2D Line Arithmetic

在齐次坐标系下，两条线的交点就是这两条线的叉乘：，而连接两个点的直线是这两个点的叉乘：. 对于证明可以从叉乘的性质 (垂直) 以及前面的定义得证。