Sobolev学习代理加速优化：激活函数与径向基函数选择鲁棒性分析

1. 项目概述与核心思路

在工程优化和科学计算领域，我们常常会遇到一个令人头疼的问题：目标函数的每一次评估都极其昂贵。比如，一次评估可能意味着运行一次耗时数小时的流体力学仿真，或者调用一次复杂的有限元分析。传统的无导数优化方法，如单纯形法（Nelder-Mead）或其变种，虽然不依赖梯度信息，但其收敛速度往往依赖于大量函数调用，这在计算成本面前变得难以承受。这就催生了对“代理加速方法”的迫切需求。

简单来说，代理加速的核心思想是“用便宜的猜，代替贵的算”。我们不再傻傻地、每一次迭代都去调用那个昂贵的真实函数（我们称之为“黑箱”），而是构建一个计算代价极低的近似模型——即代理模型（Surrogate Model）。这个模型就像一个“替身演员”，在优化算法的排练阶段（迭代过程）中，代替主角（真实函数）进行大量的试错和走位。只有当算法认为找到了一个非常有潜力的新位置时，才会请出“主角”进行一次正式的、昂贵的评估，来确认这个位置的真正价值。通过这种方式，我们可以用几十次甚至几百次廉价的代理模型评估，换取仅仅几次昂贵的真实函数评估，从而在总计算预算（例如，允许的真实函数调用次数）内，探索更广阔的解空间，更快地找到更优的解。

我最近在复现和深入研究一篇关于结合Sobolev学习的代理加速方法的论文时，对其中的一个设计细节产生了浓厚兴趣：代理模型本身的结构选择，特别是激活函数和径向基函数，到底对加速效果有多大影响？这是一个非常实际的问题。当我们决定采用神经网络（NN）或径向基函数（RBF）作为代理模型时，面对众多函数选项（如Sigmoid, ReLU, SoftPlus, Gaussian, Cubic等），该如何选择？是随便选一个，还是存在一个“最优”选项？这个选择会不会成为整个算法性能的瓶颈？

基于提供的材料，本文的核心就是拆解这个问题。我们将深入探讨在一个特定的、利用Sobolev学习训练代理模型的加速框架下，不同激活函数（用于神经网络代理）和径向基函数（用于RBF代理）的性能表现。实验数据表明，一个令人欣慰的结论是：该框架对函数选择表现出良好的鲁棒性，这意味着你不需要在函数选择上过度纠结，算法本身对模型细节不敏感，这是一个非常理想的特性。当然，在细微的差异中，SoftPlus激活函数和Gaussian径向基函数表现略好，这为我们提供了一个可靠的默认选择。接下来，我将从一个实践者的角度，详细拆解这背后的原理、实现细节以及你可能会踩到的坑。

2. 核心原理：Sobolev学习与代理加速为何有效

在直接对比函数之前，我们必须先理解这个代理加速框架的“灵魂”所在——Sobolev学习。这是它区别于普通代理模型的关键，也是其鲁棒性的重要来源。

2.1 传统代理模型的局限与Sobolev学习的引入

想象一下，你要用一个多项式去拟合一条复杂的曲线。如果只给你曲线上的几个点（函数值），你拟合出的多项式可能会在点与点之间剧烈振荡，虽然它精确地穿过了这些点，但整体形状和真实曲线相去甚远。这就是传统代理模型（仅拟合函数值）的一个典型问题：过拟合与缺乏光滑性指导。

在优化语境下，这个问题更严重。优化算法，尤其是基于模型的方法，严重依赖模型的局部曲率信息（即梯度）来判断下降方向。一个只拟合了函数值但梯度信息完全错误的代理模型，可能会将优化器引导至完全错误的方向，导致迭代失败甚至发散。

Sobolev学习就是为了解决这个问题。它的核心思想是：在训练代理模型时，不仅要求它逼近真实函数的函数值，还要求它同时逼近真实函数的梯度（一阶导数）。这就好比在教一个学生时，不仅告诉他某个点的答案是多少，还告诉他这个点附近的变化趋势（是上升还是下降，变化有多快）。这样训练出来的学生（代理模型），对函数的整体形态把握会准确得多。

数学上，传统的损失函数只包含函数值误差项：Loss = Σ (f_true(x_i) - f_surrogate(x_i))^2。而Sobolev学习的损失函数则扩展为：Loss_Sobolev = α * Σ (f_true(x_i) - f_surrogate(x_i))^2 + β * Σ ||∇f_true(x_i) - ∇f_surrogate(x_i)||^2其中，α 和 β 是权衡两项重要性的超参数。通过最小化这个联合损失，我们迫使代理模型在函数值和一阶导数两个层面都向真实函数看齐。

2.2. Sobolev学习如何赋能代理加速

在无导数优化中，我们通常没有解析梯度。那么Sobolev学习中的梯度信息从何而来？这正是其巧妙之处。在像单纯形法这类方法中，算法本身就会通过比较单纯形顶点之间的函数值来隐式地估计梯度方向（即 simplex gradient）。这些估计的梯度虽然不如自动微分求得的精确，但包含了宝贵的局部变化信息。

在代理加速框架中，流程通常是这样的：

1. 初始采样：在搜索空间内进行少量（例如n+1次，n是变量维数）昂贵的真实函数评估，构成初始数据集，包含点集{x_i}和对应的函数值{f(x_i)}。
2. 梯度估计：利用这些初始点（例如构成一个单纯形），计算每个点处的 simplex gradient，作为该点梯度∇f(x_i)的近似。
3. Sobolev训练：使用数据集{x_i, f(x_i), ∇f(x_i)}来训练代理模型（NN或RBF），最小化上述的Sobolev损失函数。
4. 代理优化：在后续迭代中，优化算法主要在训练好的代理模型上进行搜索，快速尝试大量候选点。
5. 真值验证与模型更新：当代理模型优化找到一个有希望的候选点后，才调用一次真实函数进行评估。将这个新数据点（连同其估计的梯度）加入训练集，更新代理模型，然后重复步骤4。

这个过程形成了一个“学习-优化”的良性循环。因为代理模型从始至终都受到梯度信息的约束，所以它对函数局部几何形状的近似更加忠实。这使得优化器在代理模型上的搜索行为更接近在真实函数上的行为，从而大大提高了代理引导的有效性，减少了因模型误导而产生的无效真实函数调用。

注意：Sobolev学习中的梯度是估计值，存在误差。但实践表明，即使是有噪声的梯度信息，对提升代理模型的局部拟合质量也大有裨益。关键在于损失函数中α和β的平衡。如果梯度噪声很大，可以适当降低β的权重。

3. 代理模型候选函数详解与选择逻辑

理解了框架的核心后，我们再来审视在这个框架中扮演“演员”的代理模型本身。这里主要对比两类模型：基于神经网络的（NN）和基于径向基函数的（RBF）。而函数选择，就是决定这些模型基本非线性变换形式的那个“内核”。

3.1 神经网络（NN）代理的激活函数对比

神经网络通过多层线性变换与非线性激活函数的交替来逼近复杂函数。激活函数决定了神经元的输出模式，是NN表达能力的核心。在作为代理模型的浅层网络（通常只有1-2个隐藏层）中，激活函数的选择尤为关键。

1. Sigmoid

• 函数形式：σ(x) = 1 / (1 + exp(-x))
• 特点与选择逻辑：这是最经典的非线性激活函数之一，将输入压缩到(0,1)之间。其输出关于原点不对称，且当输入绝对值很大时，梯度会趋近于0（梯度���失问题）。在代理模型中，Sigmoid能提供平滑的、有界的非线性响应。选择它的理由可能是其历史地位和良好的理论性质（处处可导，且导数简单）。但在深度网络中常见的梯度消失问题，在浅层代理模型中影响相对较小。
• 实操心得：如果优化问题的目标函数值范围已知且有限，Sigmoid的输出范围可能是一个天然的优势。但要注意其输出均值不为零，可能需要对数据做额外的中心化处理。

2. SoftPlus

• 函数形式：SoftPlus(x) = log(1 + exp(x))
• 特点与选择逻辑：可以看作是ReLU的平滑版本。它处处可导，且导数就是Sigmoid函数：d(SoftPlus)/dx = σ(x)。它没有ReLU的“死区”问题（输入为负时梯度为0），输出范围是(0, +∞)。选择它的核心理由在于其光滑性（无限阶可导）和单调性。在Sobolev学习中，我们需要计算模型梯度，SoftPlus的光滑性确保了梯度计算的稳定性，这对于基于梯度的训练至关重要。其单调性也使得模型行为更容易解释。
• 实操心得：在实验中表现略优，很可能得益于其卓越的光滑性。当你的问题对平滑性要求极高，或者你担心其他函数在数值计算上出现奇异点时，SoftPlus是一个安全且强大的默认选择。计算时需注意exp(x)在x很大时的溢出问题，可以使用log1p(exp(x))的稳定实现。

3. SiLU (Sigmoid Linear Unit) / Swish

• 函数形式：SiLU(x) = x * σ(x) = x / (1 + exp(-x))
• 特点与选择逻辑：这是Sigmoid的加权版本，结合了线性乘子和非线性门控。当x很大时，行为接近线性；当x为负时，趋近于0。它非单调，在负半轴有一个“下凸”的区域，这赋予了它更丰富的表达能力。选择它的理由是它在许多深度学习任务中表现出了优于传统激活函数的性能，可能能更好地拟合某些复杂函数形态。
• 实操心得：SiLU的表达能力更强，但也可能更容易引入不必要的振荡，尤其是在数据点较少的情况下。如果你的代理模型有足够的数据支撑，SiLU或许能捕捉到更精细的模式。但在小样本的代理模型场景下，其优势可能不如在大型神经网络中明显。

3.2 径向基函数（RBF）代理的核函数对比

RBF代理模型采用完全不同的思路：它假设未知函数可以表示为一系列以已知数据点为中心的径向对称函数的线性组合。ψ(r)就是那个径向对称函数，其中r = ||x - c_i||是输入点x到中心点c_i的距离。

1. Gaussian (高斯函数)

• 函数形式：ψ(r) = exp(- (εr)^2 )（通常形式，ε为形状参数）
• 特点与选择逻辑：最常用的RBF之一，具有无限支撑（全局影响，但衰减极快）和无限阶光滑性。其值随距离指数衰减，局部性很强。选择它的理由是极高的光滑性和良好的理论性质（正定）。在插值问题中，高斯RBF通常能产生非常平滑的曲面。形状参数ε控制函数的“宽度”，是关键的调优参数：ε太小，函数太宽，模型过于平滑，可能欠拟合；ε太大，函数太尖，模型振荡剧烈，可能过拟合。
• 实操心得：实验中表现略优，很可能是因为其默认的光滑特性与Sobolev学习追求光滑梯度的目标天然契合。调参（选择ε）是使用高斯RBF的关键步骤，可以通过交叉验证或基于数据点间距的经验公式来设定。

2. Multiquadric (多重二次函数)

• 函数形式：ψ(r) = -√(1 + (εr)^2)（这里取负号，使其条件正定）
• 特点与选择逻辑：这是一个全局支撑的RBF，衰减速度比高斯函数慢（多项式衰减）。它产生的插值曲面通常比高斯函数更具“弹性”或“刚性”。选择它的理由是它对数据点间距的敏感性相对较低，有时在点分布不均匀时表现更稳健。负号是为了满足某些插值求解器的正定性要求。
• 实操心得：计算涉及平方根，比高斯函数稍慢。它的全局性意味着一个数据点会对远处产生更长期的影响，这在某些物理问题建模中可能是优点，但在代理模型中可能导致局部特征被平滑过度。

3. Cubic (三次函数)

• 函数形式：ψ(r) = (εr)^3
• 特点与选择逻辑：这是一个多项式型的RBF，具有全局支撑和最低程度的光滑性（二阶连续可导）。选择它的理由是计算简单，且在某些应用中能产生表现良好的插值。它属于“样条”类函数。
• 实操心得：三次函数的光滑性相对较差（只有C2连续性），在需要高阶梯度信息的Sobolev学习中，这可能是一个劣势。其值随距离立方增长，必须搭配特定的条件保证插值问题的可解性（如添加多项式项）。在实际实现中，需要特别注意数值稳定性。

重要提示：对于RBF代理，无论选择哪种函数，通常都需要在损失函数中添加一个正则化项（如Tikhonov正则化）或引入多项式项（如线性或常数项）来保证插值/拟合问题的良态。否则，在数据点较多或分布特殊时，求解系数可能会面临病态矩阵问题。

4. 实验复现与性能对比分析

理论分析之后，我们进入实战环节。如何复现文中的对比实验，并理解其结论？这里我结合自己的实现经验，拆解关键步骤和注意事项。

4.1 实验设置与基准问题集

首先，要进行比较，需要一个公平的“考场”。文中实验（从数据剖面图推断）很可能使用了诸如 CUTEst 或 COCO 这样的无导数优化测试问题集。这些集合包含了从低维到高维、从光滑到非光滑、从凸到非凸的各种问题，能够全面评估算法的鲁棒性。

关键参数设置：

• 容忍度 τ：10^{-4}。这是一个相对收敛标准。例如，当算法找到的函数值f_k满足(f_k - f_best) / (|f_0| + |f_best|) < τ时，认为该问题“已解决”。这个值设定了对解精度的要求。
• 计算预算：100个单纯形梯度。注意，一个单纯形梯度需要n+1次函数评估（n为维度）。因此，预算实际上是100*(n+1)次真实函数评估。这是算法所能消耗的“最昂贵资源”的上限。
• 评估指标：数据剖面图（Data Profile）。这是无导数优化领域的标准评估工具。横坐标是消耗的单纯形梯度数量（即归一化的函数评估次数），纵坐标是在给定预算内达到容忍度τ的问题比例。曲线上升得越快、越高，说明算法性能越好。

4.2 代理加速框架的代码实现要点

以下是一个高度简化的伪代码框架，用于说明结合Sobolev学习的代理加速单纯形法核心循环：

import numpy as np from scipy.optimize import minimize from sklearn.neural_network import MLPRegressor # 或用自定义NN from scipy.interpolate import Rbf # 注意：标准Rbf可能不支持Sobolev学习，需自定义 def surrogate_accelerated_optimization(f_true, x0, max_budget=100, dim=2): """ 基于Sobolev学习的代理加速优化框架 f_true: 昂贵的真实函数 x0: 初始点 max_budget: 最大单纯形梯度数预算 dim: 问题维度 """ # 初始化 data_X = [] # 存储采样点 data_f = [] # 存储真实函数值 data_grad = [] # 存储估计梯度（simplex gradient） n_simplex_gradients_used = 0 # 1. 初始采样，构建初始单纯形并计算梯度 initial_simplex = construct_initial_simplex(x0, dim) for point in initial_simplex: data_X.append(point) data_f.append(f_true(point)) # 计算初始单纯形各顶点的梯度估计（例如，中心差分或单纯形梯度公式） estimated_grads = estimate_gradients_from_simplex(data_X, data_f) data_grad.extend(estimated_grads) n_simplex_gradients_used += 1 while n_simplex_gradients_used < max_budget: # 2. 使用Sobolev学习训练代理模型 # 假设我们选择神经网络模型 surrogate_model = train_sobolev_nn( X=np.array(data_X), y=np.array(data_f), grad=np.array(data_grad), activation='softplus' # 可替换为 'sigmoid', 'silu' ) # 或训练RBF模型 # surrogate_model = train_sobolev_rbf(..., rbf_type='gaussian') # 3. 在代理模型上进行局部优化（便宜） def cheap_objective(x): return surrogate_model.predict_value(x.reshape(1, -1))[0] # 以当前最好点或某个中心为起点 current_best_idx = np.argmin(data_f) x_start = data_X[current_best_idx] res = minimize(cheap_objective, x_start, method='Nelder-Mead', options={'maxiter': 50, 'xatol': 1e-6, 'fatol': 1e-6}) x_candidate = res.x # 4. 对候选点进行昂贵的真实评估 f_candidate = f_true(x_candidate) data_X.append(x_candidate) data_f.append(f_candidate) # 5. 更新数据集并重新估计梯度（例如，围绕新点构建新单纯形或更新局部梯度） new_grad_estimate = update_gradient_estimation(data_X, data_f, x_candidate) data_grad.append(new_grad_estimate) n_simplex_gradients_used += 1 # 一次真实评估对应一个单纯形梯度（在平均意义上） # 检查收敛条件（基于真实函数值） if check_convergence(data_f, tau=1e-4): break best_idx = np.argmin(data_f) return data_X[best_idx], data_f[best_idx], n_simplex_gradients_used

关键函数train_sobolev_nn的实现思路：标准的MLPRegressor只支持拟合函数值。要实现Sobolev学习，需要自定义损失函数。

import torch import torch.nn as nn import torch.optim as optim class SobolevNN(nn.Module): def __init__(self, input_dim, hidden_dim, activation='softplus'): super().__init__() self.layer1 = nn.Linear(input_dim, hidden_dim) self.layer2 = nn.Linear(hidden_dim, 1) if activation == 'softplus': self.act = nn.Softplus() elif activation == 'sigmoid': self.act = nn.Sigmoid() elif activation == 'silu': self.act = nn.SiLU() else: self.act = nn.ReLU() def forward(self, x): x = self.act(self.layer1(x)) return self.layer2(x) def train_sobolev_nn_torch(X, y, grad, activation='softplus', epochs=500): """ X: 输入点，形状 (m, n) y: 函数值，形状 (m,) grad: 梯度，形状 (m, n) """ model = SobolevNN(input_dim=X.shape[1], hidden_dim=20, activation=activation) optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.01) X_tensor = torch.tensor(X, dtype=torch.float32) y_tensor = torch.tensor(y, dtype=torch.float32).view(-1, 1) grad_tensor = torch.tensor(grad, dtype=torch.float32) for epoch in range(epochs): optimizer.zero_grad() # 前向传播 y_pred = model(X_tensor) # 计算梯度（自动微分） # 关键：我们需要模型对输入的梯度 # 为每个样本点计算梯度 grad_pred_list = [] for i in range(X_tensor.shape[0]): x_i = X_tensor[i:i+1].requires_grad_(True) y_i = model(x_i) grad_i = torch.autograd.grad(y_i, x_i, create_graph=True)[0] grad_pred_list.append(grad_i) grad_pred = torch.cat(grad_pred_list, dim=0) # Sobolev损失 loss_value = torch.mean((y_pred - y_tensor) ** 2) loss_grad = torch.mean((grad_pred - grad_tensor) ** 2) loss = loss_value + 0.5 * loss_grad # alpha=1, beta=0.5 loss.backward() optimizer.step() return model # 返回训练好的模型

4.3 结果解读与鲁棒性分析

现在来看图5和图6展示的数据剖面图。这两张图是理解结论的关键。

图5（NN激活函数对比）： 三条曲线（Sigmoid, SiLU, SoftPlus）在横坐标（消耗的预算）增加时，解决问题的比例都稳步上升。关键观察点是：三条曲线彼此非常接近，尤其是在预算消耗的中后期（比如60-100个单纯形梯度之后）。SoftPlus曲线几乎全程略微在上方，意味着在相同的计算预算下，使用SoftPlus激活函数的代理加速方法能解决稍多的问题，或者能以稍少的预算解决同样多的问题。但差距非常小。这直接支持了“性能对激活函数选择不敏感”的结论。SoftPlus的微弱优势，可能归因于其更好的数值稳定性和光滑性，使得基于梯度的Sobolev训练过程更顺畅。

图6（RBF核函数对比）： 情况与NN类似。Cubic, Multiquadratic, Gaussian三条曲线紧密缠绕，Gaussian曲线同样有极其微弱的领先优势。这再次印证了鲁棒性。Gaussian RBF的领先，很可能是因为其无限阶可导的性质与Sobolev学习对梯度匹配的要求完美契合，使得训练出的代理模型梯度场更平滑。

核心结论的实践意义：

1. 鲁棒性是福音：对于算法使用者来说，你不需要成为一个调参大师来精心挑选激活函数或RBF核。框架本身对这部分选择不挑剔，降低了应用门槛。
2. 默认推荐：当没有先验知识或时间进行详细测试时，直接选择SoftPlus（对于NN）和Gaussian（对于RBF）作为默认选项，是一个稳健且性能略有保障的策略。
3. 性能瓶颈不在函数本身：这些曲线的高度（最终解决的问题比例）和上升速度，更多地取决于Sobolev学习框架本身、优化器的设置、超参数（如学习率、正则化系数）以及初始采样策略。函数选择的影响是二阶的。

5. 实战避坑指南与进阶思考

根据我复现类似方法的经验，有几个地方容易出问题，值得你特别注意。

5.1 梯度估计的质量是生命线

Sobolev学习严重依赖梯度估计的准确性。如果初始的simplex gradient估计误差很大，那么代理模型从一开始就会学习到一个错误的梯度场，后续的加速引导可能会南辕北辙。

避坑技巧：

• 初始采样策略：不要只用最基础的单纯形。可以考虑使用拉丁超立方采样（LHS）或 Sobol 序列在搜索空间内采集更多的初始点（例如5*(n+1)个），然后用这些点通过多元线性回归或更稳健的方法（如 Savitzky-Golay 滤波结合局部差分）来估计每个点的梯度。虽然这会增加初始成本，但能极大提升代理模型的初始质量，往往事半功倍。
• 梯度估计方法：对于高维问题，n+1个点构成的单纯形估计的梯度可能非常不准确。可以探索使用中心差分（需要2n次评估）或智能扰动的方法。在每次进行昂贵评估后，可以围绕该点额外进行一些廉价的、有方向的扰动来专门估计梯度，虽然增加了单次迭代成本，但提升了模型质量。
• 损失函数中的权重β：如果梯度估计噪声大，务必调低Sobolev损失中梯度项的权重β。可以通过验证集来调整α和β的比例。一个简单的启发式方法是：β = σ_f^2 / σ_g^2，其中σ_f是函数值的噪声标准差估计，σ_g是梯度估计的噪声标准差估计。

5.2 代理模型的复杂性与过拟合

代理模型（尤其是NN）并非越复杂越好。一个过于复杂的模型在少量数据上很容易完美拟合函数值和梯度（包括噪声），��致严重的过拟合。这样的模型在训练点附近表现极好，但在未探索区域的行为会变得荒谬，误导优化器。

避坑技巧：

• 模型正则化：对于NN，强烈使用L2权重衰减（weight decay）和Dropout（即使在浅层网络中也有效）。对于RBF，使用岭回归（Ridge Regression）或添加多项式项并配合正则化。
• 早停法：划分一小部分数据作为验证集（例如20%），监控验证集上的Sobolev损失。当验证损失不再下降甚至开始上升时，立即停止训练。
• 控制模型容量：对于NN，隐藏层神经元数量不宜过多（例如，从2n到10n之间尝试）。对于RBF，形状参数ε需要通过交叉验证仔细选择。

5.3 优化器在代理模型上的配置

在代理模型上进行的“廉价优化”也需要配置。常见的错误是让这个优化过程过于“粗糙”或过于“精细”。

• 过于粗糙：如果代理模型上的优化迭代次数太少（maxiter太小），可能无法充分挖掘当前代理模型指引的下降方向，浪费了模型的信息。
• 过于精细：如果优化精度设置过高（xatol/fatol太小），会在代理模型这个“近似地图”上做过度的局部搜索，而代理模型在远离数据点的区域可能根本不准确，导致计算资源的浪费。

实操建议：将代理模型上的优化视为一个快速的“方向探测”步骤。设置一个中等程度的迭代次数（如50-200次）和相对宽松的容忍度。我们的目标不是在这个模型上找到精确解，而是找到一个有潜力的、值得用真实函数去评估的候选区域。

5.4 何时更新与重建代理模型

是每获得一个新数据点就更新一次模型（在线学习），还是积累一定数量（如5个）新点后批量更新？是每次都从头开始训练，还是采用增量学习？

• 频繁更新：模型能更快地适应新信息，但计算开销大。
• 批量更新：计算效率高，但信息滞后。
• 增量训练：对于NN，可以在之前训练好的模型权重基础上继续训练，学习率调小。对于RBF，需要重新求解线性系统。

我的经验：在优化初期，函数景观探索不足，模型变化大，建议每获得1-2个新点就更新一次。到了优化后期，搜索集中在局部区域，模型变化小，可以积累更多点再更新，或者只对模型进行微调（fine-tune）。对于NN，增量训练通常效果很好且高效。对于RBF，如果问题规模不大，每次重建也完全可以接受。

最后，这个基于Sobolev学习的代理加速框架，其强大之处在于将导数信息（哪怕是近似的）融入了模型训练的先验中。这使得它比单纯拟合函数值的代理模型稳健得多。而我们在函数选择上观察到的鲁棒性，恰恰说明了这个框架的成熟度——它不再依赖于某个特定“魔法组件”的细节，其性能由更根本的“利用梯度信息进行学习”这一机制所驱动。当你下次面对一个昂贵黑箱函数的优化问题时，不妨试试这个思路，从实现一个简单的Sobolev学习的SoftPlus NN代理开始，它很可能会给你带来惊喜。