概率论：常见分布的期望与方差、中心极限定理、切比雪夫不等式

目录

一、0、1分布

二、二项分布

三、泊松分布

四、均匀分布​

五、指数分布

六、正态分布

七、中心极限定理及其应用

（1）中心极限定理的定义

（2）使用示例

八、切比雪夫不等式

（1）切比雪夫不等式的常见2种形式

（2）切比雪夫不等式的证明

在学习中心极限定理的时候，常常需要用到不同分布的期望与方差公式，如果临时推导将浪费大量时间还不一定算的对，于是本文将常见分布的期望、方差公式直接给出。并有记忆方式进行辅助。

一、0、1分布

二、二项分布

三、泊松分布

而泊松分布的方差其实也可以近似看做二项分布的方差，只不过需要这样理解：

当然，你也可以直接套用方差的公式，利用无穷级数中的泰勒展开公式，类似上述求解期望的方式得到方差，不过非常的繁琐。

四、均匀分布

均匀分布的方差公式需要额外记忆一下，似乎并没有什么直观的方式记忆。我们直接死记硬背分母有个12，分子是区间的长度平方即可。

五、指数分布

六、正态分布

正态分布根本就不需要我们手动求解期望与方差，因为题目中已经给出了。

七、中心极限定理及其应用

（1）中心极限定理的定义

（2）使用示例

由此，我们看出来：

所谓的中心极限定理应用也非常简单，只需要大家能熟练的记忆上述常见分布的期望与方差，即可带入公式，最后利用一步标准化思想化为标准正态分布即可。

八、切比雪夫不等式

（1）切比雪夫不等式的常见2种形式

切比雪夫不等式是用局部的、少量的样本点去反映全局样本的一个工具。所以这里面取的E(X)、D(X)原则上而言应该是少量样本点的数据，但是题目为了简化，往往会直接给出全局样本的数据。

而切比雪夫不等式反映了参考范围ε的变化，会使得概率发生改变。而方差又是一个能反映全局样本点的波动程度的工具，即方差越大（波动越大）、ε参考范围越小，在范围内的概率也就越小。

（2）切比雪夫不等式的证明

关于这个证明，我们并不需要掌握，了解即可。但是一定要明白：切比雪夫不等式是粗糙的、笼统的去估计偏离概率（可接受波动范围ε之外的区域）的上界。