建图：从占用栅格到3D高斯——三种SLAM的地图表示理论

专栏系列：2D/3D/视觉SLAM理论详解（共10篇） |难度：中级 |预计阅读：26分钟
前置知识：传感器模型（第3章）、SLAM前端（第4章）、BA/图优化（第5章）
本文定位：第8篇，讲解三种SLAM中地图表示的理论谱系——从2D占用栅格到3D高斯椭球

摘要

建图是SLAM的"产出物"——最终交付给上层应用的环境模型。本章横向对比三种SLAM的地图表示：(1) 2D激光的占用栅格地图（Occupancy Grid）——二值贝叶斯滤波与log-odds更新，(2) 3D激光的点云特征图与TSDF地图——从稀疏特征到稠密体素，(3) 视觉的路标地图（从稀疏共视图到稠密网格/3DGS）。核心论点是：地图表示的选择由传感器特性（直接几何 vs 间接光度）和下游任务（导航 vs 渲染 vs 定位）共同决定。

目录

• 1. 地图表示的理论谱系
• 2. 2D激光：占用栅格地图
• 3. 3D激光：从点云特征到TSDF
• 4. 视觉：从稀疏路标到可渲染场景
• 5. 三种路标参数化的对比
• 6. 地图选择的下游驱动原则

1. 地图表示的理论谱系

1.1 信息密度谱

三种SLAM的地图表示可以从信息密度来分类：

1.2 地图 = 传感器特性 × 下游任务

地图表示的选择由两个正交因素决定：

• 传感器特性：激光直接提供几何信息→自然适合几何地图（栅格、体素）；视觉间接提供外观信息→自然适合外观+几何混合地图
• 下游任务：导航需要"哪里可通行"（占据栅格）；AR需要视角渲染（3DGS/网格）；定位需要稳定的可匹配特征（稀疏路标）

2. 2D激光：占用栅格地图

2.1 栅格地图的贝叶斯基础

2D激光SLAM将环境划分为规则的栅格阵列。每个栅格c cc维护其被障碍物占据的后验概率P ( m c = 1 ∣ z 1 : t , x 1 : t ) P(m_c = 1 \mid \mathbf{z}_{1:t}, \mathbf{x}_{1:t})P(mc​=1∣z1:t​,x1:t​)。

在"给定轨迹"的条件下（RBPF的分解），各栅格是条件独立的——每个栅格的占据概率仅由穿过该栅格的所有激光射线所独立确定。

2.2 Log-odds更新

直接使用贝叶斯公式更新概率需要乘除法（有数值下溢风险）。Log-odds形式将贝叶斯更新转化为一次加法：

L ( m c ∣ z 1 : t ) = L ( m c ∣ z 1 : t − 1 ) + L ( m c ∣ z t ) L(m_c \mid \mathbf{z}_{1:t}) = L(m_c \mid \mathbf{z}_{1:t-1}) + L(m_c \mid z_t)L(mc​∣z1:t​)=L(mc​∣z1:t−1​)+L(mc​∣zt​)

其中L = log ⁡ P 1 − P L = \log\frac{P}{1-P}L=log1−PP​是log-odds。核心优势：

• 每次观测仅需一次加法
• Log-odds=0 ↔P = 0.5 P=0.5P=0.5（完全未知）
• 正值 ↔ 被占据（P > 0.5 P > 0.5P>0.5），负值 ↔ 空闲（P < 0.5 P < 0.5P<0.5）
• 占据概率随时可通过P = 1 / ( 1 + e − L ) P = 1/(1 + e^{-L})P=1/(1+e−L)恢复

2.3 激光射线对栅格的更新

一条激光射线从传感器原点x t \mathbf{x}_txt​出发，沿方向θ \thetaθ到达测量距离z t z_tzt​处。它对沿线的栅格产生两种更新：

• 射线穿过的栅格（从原点到测量终点之间的所有栅格）：观测为"miss"（空闲）→ log-odds减少（L ← L + l miss L \leftarrow L + l_{\text{miss}}L←L+lmiss​，l miss < 0 l_{\text{miss}} < 0lmiss​<0）
• 测量终点的栅格（射线终止处）：观测为"hit"（被占据）→ log-odds增加（L ← L + l hit L \leftarrow L + l_{\text{hit}}L←L+lhit​，l hit > 0 l_{\text{hit}} > 0lhit​>0）

逆传感器模型（Inverse Sensor Model）：给定一次测量z t z_tzt​，推断每个栅格的占据概率。这是传感器模型的"逆向"——从效果（一次测量读数）推断原因（栅格状态）。

2.4 栅格分辨率的选择

Cartographer使用5cm分辨率的子图（submap），每个子图通常为200×200栅格（10m×10m）。多个子图通过位姿图拼接为全局地图。

2.5 子图策略：Cartographer的地图管理

Cartographer将全局地图分解为多个独立的子图（submap）：

• 每个子图在局部坐标系中累积几十到几百帧的扫描
• 子图由一组雷达扫描帧通过局部CSM构建（子图内的累计位姿通过CSM估计）
• 多个子图的相对位姿通过全局位姿图优化（回环后）确定

子图策略的好处：局部约束在一个子图内紧密，全局约束通过位姿图的稀疏边连接——避免了"一个栅格的微小位移导致全局地图错位"的问题。

3. 3D激光：从点云特征到TSDF

3.1 LOAM的局部点云特征地图

LOAM维护的"地图"是一组累积的特征点（边缘点和平面点），而非完整的3D栅格地图。这个特征地图：

• 局部性：仅保留最近若干帧的特征点（通过滑动窗口或距离阈值剔除旧点）
• 特征累积：新帧的特征点变换到世界坐标系后并入地图
• 用于配准：新扫描不是配准到上一帧，而是配准到这个累积特征地图（扫描→地图配准）

LOAM里程计的漂移远低于帧-帧配准——因为累积地图包含多帧的信息，对测量噪声有平滑效果。

3.2 TSDF：从点云到体素

TSDF（截断符号距离函数）是3D稠密重建的基础表示：

SDF ( x ) = { + d ( x , S ) 若 x 在曲面外部 − d ( x , S ) 若 x 在曲面内部 0 若 x 恰好在曲面上 \text{SDF}(\mathbf{x}) = \begin{cases} +d(\mathbf{x}, S) & \text{若 } \mathbf{x} \text{ 在曲面外部} \\ -d(\mathbf{x}, S) & \text{若 } \mathbf{x} \text{ 在曲面内部} \\ 0 & \text{若 } \mathbf{x} \text{ 恰好在曲面上} \end{cases}SDF(x)=⎩⎨⎧​+d(x,S)−d(x,S)0​若x在曲面外部若x在曲面内部若x恰好在曲面上​

截断版本仅对距曲面± δ \pm\delta±δ范围内的体素存储SDF值。每个体素存储截断SDF值D ( v ) D(\mathbf{v})D(v)和权重W ( v ) W(\mathbf{v})W(v)。

TSDF的滑动平均更新：

D k + 1 = W k ⋅ D k + w k + 1 ⋅ d k + 1 W k + w k + 1 , W k + 1 = W k + w k + 1 D_{k+1} = \frac{W_k \cdot D_k + w_{k+1} \cdot d_{k+1}}{W_k + w_{k+1}}, \quad W_{k+1} = W_k + w_{k+1}Dk+1​=Wk​+wk+1​Wk​⋅Dk​+wk+1​⋅dk+1​​,Wk+1​=Wk​+wk+1​

其中d k + 1 d_{k+1}dk+1​是新测量的SDF值（从当前相机/LiDAR视角计算的投影距离）。

2D栅格 vs 3D TSDF的对比：

3.3 八叉树地图（OctoMap）

八叉树将3D空间自适应地递归分割为8个子立方体，解决均匀TSDF网格"存储量随分辨率立方增长"的问题。

每个叶节点维护log-odds占据概率。如果所有子体素处于相同状态（全空闲或全占据），则被剪枝为父体素——大幅压缩内存。在室内结构化场景中压缩率可达90%以上。

4. 视觉：从稀疏路标到可渲染场景

4.1 稀疏路标 + 共视图：定位优化的地图

ORB-SLAM的地图 = 一组3D路标 + 共视图（covisibility graph）。

共视图：两个关键帧被视为"共视"当且仅当它们共享至少15个地图点的观测。权重 = 共视地图点数。局部BA仅优化与当前帧在共视图中直接相连的相机——大幅缩减局部BA规模。

本质图（Essential Graph）：共视图的稀疏化子图（仅保留最强连接边），用于回环修正时的高效位姿图优化。

4.2 半稠密地图：LSD-SLAM的梯度区域深度

LSD-SLAM仅对具有足够梯度的像素进行深度估计——因为深度估计的信息主要来自图像梯度。在均匀区域（如白墙），深度估计的特征值趋于零。

深度通过极线搜索 + 逆深度方差建模来估计。TV-L1深度正则化（min ⁡ D ∑ ∥ ∇ D ∥ 1 \min_D \sum \|\nabla D\|_1minD​∑∥∇D∥1​）保持深度边缘的不连续性——L1允许尖锐的跳变存在（物体边界处的深度突变），而L2会将其模糊。

4.3 3DGS地图：可渲染的场景表示

3D Gaussian Splatting（3DGS）用显式的各向异性高斯椭球表示场景：

• 均值位置μ \mathbf{\mu}μ（3D坐标）
• 协方差矩阵Σ \mathbf{\Sigma}Σ（空间扩展的形状和方向）
• 颜色和不透明度参数

每个高斯元的空间密度：
G ( x ) = exp ⁡ ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) G(\mathbf{x}) = \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^T \mathbf{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})\right)G(x)=exp(−21​(x−μ)TΣ−1(x−μ))

通过可微光栅化（将3D高斯按前后顺序投影到图像平面并叠加以生成像素颜色），可从任意新视角渲染。相比传统地图，3DGS地图同时编码了几何和外观——地图本身就可以用于渲染。

5. 三种路标参数化的对比

5.1 视觉SLAM中三种路标参数化

视觉SLAM的路标（3D点）有三种数学表示：

(1) Euclidean坐标( X , Y , Z ) (X, Y, Z)(X,Y,Z)：直观、雅可比简单（∂ P / ∂ P = I \partial\mathbf{P}/\partial\mathbf{P} = \mathbf{I}∂P/∂P=I）。对远距离点不确定性建模差——100米的点的Z坐标方差可能50米，这在优化中产生病态的数值条件。

(2) 逆深度[ u , v , ρ ] T [u, v, \rho]^T[u,v,ρ]T（u = X / Z , v = Y / Z , ρ = 1 / Z u=X/Z, v=Y/Z, \rho=1/Zu=X/Z,v=Y/Z,ρ=1/Z）：远距离点（ρ → 0 \rho \to 0ρ→0）在逆深度空间中是接近零的高斯分布——高斯能准确建模。ρ = 0 \rho = 0ρ=0自然表示无穷远点。是单目SLAM初始化和远距离点的首选参数化。

(3) 锚点参数化：路标 = 锚点相机T anchor \mathbf{T}_{\text{anchor}}Tanchor​+ 从锚点视角的逆深度ρ \rhoρ。初始化用逆深度（初期不确定性建模好），深度稳定后转为Euclidean（计算更快）。

5.2 为什么激光SLAM不需要这些参数化

激光SLAM中，每个点的3D坐标是直接测量的（距离+角度 → XYZ），其不确定性近似为常值高斯（~1-3cm）——不需要逆深度来"线性化"远距离的不确定性。这是本章"传感器特性决定地图表示"的最直接的例证。

6. 地图选择的下游驱动原则

6.1 下游任务与地图表示的对应

6.2 核心原则

地图是SLAM的产出，但不是最终目标——是后续应用（导航、AR、重建、长期定位）决定了需要什么类型的地图。

选择地图表示时应考虑：

• 传感器的自然信息类型：激光→几何地图 / 视觉→外观+几何混合地图
• 存储和计算预算：嵌入式平台→稀疏特征 / 桌面/服务器→稠密/3DGS
• 时间尺度：实时导航→轻量地图（栅格/八叉树） / 离线重建→高质量地图（TSDF/3DGS）
• 光照/季节鲁棒性：户外→几何地图（光照不变） / 室内→外观地图可用

本文总结

• 三种SLAM的地图表示由传感器特性决定：激光的直接几何测量→自然适配栅格/体素/八叉树；视觉的间接光度测量→适配路标+描述子+可渲染场景表示
• 2D占用栅格 = log-odds贝叶斯更新：每次激光射线的一次加法更新，hit→log-odds增加，miss→log-odds减少——渐进式地建立占据/空闲信念
• 3D激光特征图 = LOAM的边缘+平面点累积：扫描→地图配准优于帧-帧配准（多帧信息平滑噪声）；TSDF滑动平均融合深度观测
• 视觉地图的演进：稀疏路标+共视图（ORB-SLAM, 定位用） → 半稠密梯度区域（LSD-SLAM, 场景结构） → 3DGS椭球（可渲染, AR用）
• 路标参数化的选择取决于深度不确定性：逆深度解决了远距离的高斯建模（ρ → 0 \rho \to 0ρ→0vsZ → ∞ Z \to \inftyZ→∞）；激光不需要这些参数化——因为深度直接测量且精度与距离弱相关
• 地图选择 = 下游任务驱动：导航要占据栅格、AR要3DGS、定位要稀疏特征、重建要TSDF+Mesh

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SLAM占用栅格TSDF八叉树3DGS共视图