9、量子计算：原理、算法与挑战

量子计算：原理、算法与挑战

1. 量子计算基础

量子计算机利用并操纵量子比特（qubit）。在物理层面，量子比特可以通过多种“硬件”方式实现，比如利用电子的自旋或者光子的偏振态。这里我们以光子为例来建模量子比特。

量子比特的行为遵循希尔伯特空间的数学理论。希尔伯特空间由向量组成，这些向量在量子力学中被记为 |label⟩，称为右矢（ket）。右矢可以进行加法、与复数的标量乘法以及右矢之间的内积运算。对于单个量子比特，希尔伯特空间是二维的，所有右矢都可以表示为两个指定固定量子比特的线性组合，例如 α|0⟩ + β|1⟩，其中 |0⟩ 和 |1⟩ 被选作基。

右矢除了用 |·⟩ 表示，还可以表示为列向量。对于单个量子比特：
|0⟩ = $\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$
|1⟩ = $\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$

用光子实现量子比特时，光子存在偏振态。平面偏振是指波的电场分量位于沿传播轴的单个平面内。我们可以将水平平面偏振光子 | ↔⟩ 指定为 “0”，垂直平面偏振光子 | ↕⟩ 指定为 “1”。那么对角偏振光子可以表示为：
| ↗⟩ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (|0⟩ + |1⟩)

水平偏振光子和垂直偏振光子是正交的，它们的点积为 0。除了平面偏振，还有其他偏振可能性，如圆偏振。逆时针（CCW）圆偏振光子表示为：
|⃝CCW⟩ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (|0⟩ + i|1⟩)
顺时针（CW）圆偏振光子表示为：
|⃝CW⟩ = $\frac{1}{\sqrt{2