算术平均值与几何平均值
1. 算术平均值（Arithmetic Mean）
定义： 所有数值之和除以数值的个数。
公式：
对于 \(n\) 个数 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)：
\[A = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
\]
例子： 求 2, 4, 6 的算术平均值
\[A = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4
\]
2. 几何平均值（Geometric Mean）
定义： 所有数值乘积的 \(n\) 次方根。
公式：
对于 \(n\) 个正数 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)：
\[G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}
\]
例子： 求 2, 4, 8 的几何平均值
\[G = \sqrt[3]{2 \times 4 \times 8} = \sqrt[3]{64} = 4
\]
3. 两者的重要不等式
对于任意正数，算术平均值 \(\geq\) 几何平均值，当且仅当所有数相等时取等号：
\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
\]
经典特例（两个数）：
\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
\]
4. 举例对比
| 数据 | 算术平均值 | 几何平均值 |
|---|---|---|
| 2, 8 | \(\frac{2+8}{2}=5\) | \(\sqrt{2 \times 8}=4\) |
| 3, 3, 3 | \(\frac{3+3+3}{3}=3\) | \(\sqrt[3]{3 \times 3 \times 3}=3\) |
| 1, 4, 16 | \(\frac{1+4+16}{3}=7\) | \(\sqrt[3]{1 \times 4 \times 16}=4\) |
可以看到：
- 当数据相等时，两者相等
- 当数据不相等时，算术平均值 > 几何平均值
5. 应用场景
| 类型 | 适用场景 |
|---|---|
| 算术平均值 | 求平均成绩、平均收入等加法关系的数据 |
| 几何平均值 | 求平均增长率、平均比率等乘法关系的数据 |
例子： 某投资第一年涨 10%，第二年涨 50%，平均增长率用几何平均：
\[G = \sqrt{1.10 \times 1.50} \approx 1.284
\]
平均年增长率约为 28.4%，而不是算术平均的 30%。