轮换对称
轮换对称式，数学竞赛顶级思维，感受数学之美。
数学是美的！
定义
- 对称式：交换任意两个字母的位置，代数式不变。
例如：
- 轮换式：轮换所有字母的位置（\(a \to b , b \to c , \ldots , z \to a\)），代数式不变。
例如：
注意：三元对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。
因式分解
- 例题 #1：
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令这个东西为一个关于 \(a\) 的函数 \(f(a)\)，带入 \(a=b\)，得到 \(f(b)=0\)，因此根据因式定理，\((a-b)\) 是原式的一个因式。
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根据这个式子是个轮换式，可得：
\[f(a) = (a-b) (b-c) (c-a) \cdot ? \] -
但是注意到此时整个式子均为三次，而原式是四次的，所以要补一项。又因为轮换（对称）式因式分解出来的一定是轮换（对称）式，而能被因式分解得到的一次的轮换式只有 \((a+b+c)\) 这一个，所以：
\[f(a) = k (a-b) (b-c) (c-a) (a+b+c) \] -
注意到为什么要加个 \(k\) 呢？因为这样分解出来的系数（常数项）并没有确定，只是找到了 \(4\) 个因式而已。系数也很好找，随便拿一项看看原式中这一项的系数 和 分解得到的式子中这一项系数差多少倍即可，发现原式中有 \(-a^3b\)，分解得到的式子中有 \(a^3b\)，因此 \(k=-1\)。最终得到答案：
\[- (a-b) (b-c) (c-a) (a+b+c) \]
- 例题 #2：
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令为 \(f(a)\)，然后注意到有个 \(3\)，考虑 \((x+y)^3\) 中的三次项，发现 \(f(-(b+c))=0\)，得到：
\[f(a) = (a+b+c) \cdot ? \] -
\(?\) 于是一定是个二次式，而能被因式分解出来的二次轮换式只有 \((a^2+b^2+c^2)\) 和 \((ab+bc+ca)\)，因此设：
\[f(a) = (a+b+c) (m(a^2+b^2+c^2) + n(ab+bc+ca)) \] -
然后算一下 \(a^3\) 和 \(a^2b\) 的系数，就可以得到 \(m=1,n=-1\)，得到答案：
\[(a+b+c) (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \] -
或者提个 \(\frac 1 2\) 出来，得到：
\[\frac 1 2(a+b+c) ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) \]
求代数式的值
- 例题 #1：已知 \(abc=1\)，求：
两个式子都是轮换式。但是第二个式子非常不齐次，通分也会非常麻烦，考虑转化。小 trick：把 \(abc=1\) 写成 \(\frac x y \cdot \frac y x \cdot \frac z x = 1\)，即设 \(a = \frac x y , b = \frac y z , c = \frac z x\)，于是原条件就直接被包含在设出来的新式子里了。对所求式子进行化简得到：
显然答案为 \(1\)。
- 例题 #2：已知 \(abc \ne 0\)，\(a+b+c=0\)，求：
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依旧不好通分。考虑先算一个式子看看长什么样。由给定的式子可得 \(c=-(a+b)\)，于是：
\[\frac 1 {a^2+b^2-c^2} = - \frac 1 {2ab} \]（为什么想到消掉 \(c\) 呢？因为 \(a^2,b^2\) 系数都是正的，就 \(c^2\) 系数是负的，根据人类直觉就应该消 \(c\)。）
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又因为是轮换式，原式三部分都是同构的，得到：
\[原式 = - \frac 1 {2ab} - \frac 1 {2bc}- \frac 1 {2ca} \] -
简单通分，得到：
\[原式 = - \frac 1 2 \cdot \frac {a+b+c} {abc} \]因为 \(a+b+c=0\)，所以答案为 \(0\)。
- 例题 #3：已知 \(a>1,b>1\)，求：
注意到一切都是对称的，所以取 \(\min\) 时 \(a=b\)，于是只需要求 \(\dfrac {2a^2} {a-1} \quad (a>1)\) 的 \(\min\) 即可，是经典二次函数问题。
正解是均值不等式，放一下吧。首先因为 \(a,b>1\) 而不是 \(0\)，所以要换元令 \(x=a-1 , y=b-1\)，则 \(x,y>0\)，更方便用均值不等式。