10、Z变换：原理、计算与应用详解

Z变换：原理、计算与应用详解

1. 引言

在信号处理应用中，拉普拉斯变换和傅里叶变换起着重要作用，它们分别定义在连续时间域和离散时间域。在实际信号处理里，我们更多使用的是傅里叶变换和拉普拉斯变换的离散版本，即离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换以及更为常用的Z变换。

Z变换是将离散时间信号表示在频域的一种方式，或者说是实现离散时间域和频域之间的转换。通过离散变换将信号分解为其组成频率分量，就能得到信号的频谱。在许多数字信号处理（DSP）应用中，时间域和频域之间的转换是必不可少的，例如它能使数字滤波、卷积和相关等DSP算法的实现更加高效。

2. Z变换的定义

2.1 一般定义

一个数字序列 $x(nT)$ 或 $x(n)$ 的Z变换定义为关于 $z^{-n}$ 的幂级数，其系数等于 $x(n)$ 的值，其中 $z$ 是一个复变量，$z = \sigma + j\omega$。对于非因果信号 $x(n)$，其离散时间信号的Z变换可表示为：
[Z[{x(n)}] = X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}]
这通常被称为双边Z变换。序列 ${x(n)}$ 是通过对时间函数 $x(t)$ 每隔 $T$ 秒进行采样得到的，为了方便，通常将 $x(n)$ 理解为 $x(nT)$，即省略 $T$。

2.2 特殊情况

• 因果信号：如果离散时间信号是因果信号，即 $n < 0$ 时 $x(n) = 0$，那么Z变换称为单边Z变换，表达式为：
  [Z[{x(n)}] = X(