无源汇上下界可行流
给定一个网络，每条边有一个流量上下限 \(u,d\)，问是否有一组可行的流量，使得网络平衡。
由于每条边有一个下限，可以先强制让这条边流一个下限的流量（低保流量），上下界之间的流量像普通最大流问题一样，变为一个容量为 \(u-d\) 的边。
但是这里会有一个问题，低保流量并不一定平衡，即对各个结点，流入流出可能不等。
不平衡的流量只能由那些容量为 \(u-d\) 的边来平衡。假定这些剩余流量的边形成的网络为附加网络。
考虑某个点 \(u\)，如果流入量大于流出量，差值为 \(c\)，那么需要在剩余网络中由 \(u\) 净流出流量 \(c\) 才能平衡过剩的低保流量。
实现的方式就是建立一个辅助源点 \(s\)，由 \(s\) 连一条容量为 \(c\) 的边到 \(u\)，这样 \(u\) 就有能力流出 \(c\) 的净流量。
考虑某个点 \(v\)，如果流入量小于流出量，差值为 \(c\)，那么需要在剩余网络中由 \(v\) 净流入流量 \(c\) 才能平衡过剩的低保流量。
实现的方式就是建立一个辅助汇点 \(t\)，由 \(v\) 连一条容量为 \(c\) 的边到 \(t\)，这样 \(v\) 就有能力流入 \(c\) 的净流量。
此时，如果可行流能存在，那么这些辅助源点流出、辅助汇点流入的流量应该能跑满，即最大流需要跑满辅助边，实现流平衡。
有源汇上下界可行流
由于是有源汇，所以源汇两个点流量不需要保证平衡。虽然源可以大量流出，汇可以大量流入，但是源额外流出应该等于汇额外流入。如果连一条从汇到源的边，容量为无穷，这条边可以平衡源汇的超额流量，则又变回无源汇问题。
其余操作与无源汇问题是一样的，即记录下各个点再低保网络下的超额流入/流出，相应连到辅助源点/汇点即可。
因为从汇点连到源点的附加边是为了平衡源点的超额流出和汇点的超额流入的，所以这条附加边上的流量就对应了这个超额流量，即一个可行流 \(f\)。
有源汇上下界最大流
先求出有源汇上下界可行流 \(f\)。
此时只需要在残余网络上继续寻找从源点到汇点的最大流即可。残余网络本身是合法的，从源点到汇点的最大流增广也是合法的，因此两者相加即为总体最大流。
这里注意，最大流的运算应该在实际的边上进行，所以应该断开辅助源汇点的所有边以及从汇点到源点那条边。
实际上辅助源汇点的所有边都是满流的（否则无可行流），所以即便不断开辅助源汇点，也不会影响增广路，所以需要断开的只是那条汇点到源点的边。
有源汇上下界最小流
先求出有源汇上下界可行流 \(f\)。
此时只需要在残余网络上继续寻找从汇点到源点的最大流即可。残余网络本身是合法的，从源点到汇点的最大流增广也是合法的，因此两者相减即为总体最大流。
这里注意，最大流的运算应该在实际的边上进行，所以应该断开辅助源汇点的所有边以及从汇点到源点那条边。
实际上辅助源汇点的所有边都是满流的（否则无可行流），所以即便不断开辅助源汇点，也不会影响增广路，所以需要断开的只是那条汇点到源点的边。