喵喵 1. 对于任意正整数 \(n\)，是否存在一个无穷正实数列 \(a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots\) 满足 \(\sum_{i=1}^n a_i\le n^2\) 且 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\le 2026\)？
不存在。
取 \(n=2^k\)，其中 \(k\in N_+\)。
则根据条件有 \(\sum_{i=1}^{2^{k+1}} a_i\le 2^{2k+2}\)。根据柯西不等式，
所以
因为这个不收敛，所以不存在。
[语] \(2^k\) 的好处是前后两段长度一样。
喵喵 2. 给定正整数 \(n\) 和实数 \(c\)。已知 \(x_1,x_2,\cdots, x_{2n}\) 满足 \(x_1+x_2+\cdots +x_{2n}=c\)，\(|x_{k+1}-x_k|<\frac{c}{n}\)（\(k=1,2,\cdots ,2n,x_{2n+1}=x_1\)）。
求证：存在 \(n\) 个整数 \(1\le i_1<i_2<\cdots <i_n\le 2n\)，使得 \(|x_{i_1}+x_{i_2}+\cdots +x_{i_n}-\frac{c}{2}|<\frac{c}{2n}\)。
假设命题不成立，考虑反证法。
则对于 \(\forall 1\le i_1<i_2<\cdots <i_n\le 2n\)，\(|x_{i_1}+x_{i_2}+\cdots +x_{i_n}-\frac{c}{2}|\ge \frac{c}{2n}\)
所以 \(x_{i_1}+x_{i_2}+\cdots +x_{i_n}\le -\frac{c}{2n}+\frac{c}{2}\) 或者 \(x_{i_1}+x_{i_2}+\cdots +x_{i_n}\ge \frac{c}{2n}+\frac{c}{2}\)。
考虑以下 \(n\) 个数的和：
-
\(S_1=x_1+x_3+x_5+\cdots +x_{2n-1}\)。
-
\(S_2=x_2+x_3+\cdots +x_{2n-1}\)。
-
\(S_3=x_2+x_4+x_5+\cdots +x_{2n-1}\)。
\(\cdots\)
-
\(S_n=x_2+x_4+\cdots +x_{2n-2}+x_{2n-1}\)。
-
\(S_{n+1}=x_2+x_4+\cdots +x_{2n-2}+x_{2n}\)。
即，\(S_{i\ge 2}\) 为 \(S_{i-1}\setminus \{2i-1\}\cup\{2i\}\)。（奇数位置一个一个替换为偶数位置）
因为 \(S_1+S_{n+1}=c\)，所以不妨设 \(S_1\ge \frac{c}{2},S_{n+1}\le\frac{c}{2}\)。
则 \(S_1\ge c_{2n}+\frac{c}{2},S_{n+1}\le \frac{c}{2}-\frac{c}{2n}\)。
必有某个 \(i\in \{1,2,\cdots ,n\}\) 使得 \(S_{i}\ge \frac{c}{2},S_{i+1}\le \frac{c}{2}\)。从而 \(S_i\ge \frac{c}{2n}+\frac{c}{2},S_{i+1}\le \frac{c}{2}-\frac{c}{2n}\)。(这个是因为，从一个 \(\ge \frac{c}{2}\) 变化为 \(\le \frac{c}{2}\))
推出 \(|S_i-S_{i+1}|\ge \frac{c}{n}\)。又因为 \(|S_i-S_{i+1}|=|x_{2i-1}-x_{2i}|\ge \frac{c}{n}\)，矛盾！
[语] 反证法，可以把 \(\exists\) 变成 \(\forall\)，相当于添加一个条件。