伺服电机仿真（6）：机械传动系统的建模-单惯量、双惯量与多惯量系统

6.1 引言：机械传动在伺服系统中的作用

在伺服驱动系统中，电机产生的电磁转矩必须通过机械传动链传递到负载，从而驱动负载完成期望的运动。机械传动系统是连接电机与负载的物理纽带，其动态特性直接影响整个伺服系统的性能表现，包括：

1. 动态响应：传动系统的惯性和弹性决定了系统的响应速度

2. 控制精度：传动间隙和弹性变形影响定位精度

3. 稳定性：机械谐振可能引起系统不稳定

4. 可靠性：机械部件的磨损和故障影响系统寿命

根据建模的复杂度和精度要求，机械传动系统通常可分为三类模型：

• 单惯量系统：最简单，忽略传动链的弹性

• 双惯量系统：考虑电机和负载之间的弹性连接

• 多惯量系统：详细建模传动链中的多个惯性环节

6.2 单惯量系统模型

6.2.1 物理假设与模型结构

单惯量系统假设电机与负载为刚性连接，传动轴无弹性变形，整个系统可视为一个整体。

单惯量系统物理模型 ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 电机与负载刚性连接示意图 │ │ │ │ 电磁转矩T_e ────┐ │ │ │ │ │ ┌───▼───┐ │ │ │ 电机 │ │ │ │ 转子 │ │ │ │ J_m │─────刚性轴─────┐ │ │ └────────┘ │ │ │ │ │ │ ┌───▼───┐ │ │ │ 负载 │ │ │ │ J_L │ │ │ └────────┘ │ │ │ │ │ 负载转矩T_L │ │ ▼ │ │ │ │ 等效总惯量：J_total = J_m + J_L │ │ 粘性摩擦系数：B_total = B_m + B_L │ └─────────────────────────────────────────────────────────┘

6.2.2 数学模型

基于牛顿第二定律（旋转形式）：

Jtotal​dtdωm​​+Btotal​ωm​=Te​−TL​

其中：

• Jtotal​=Jm​+JL​：总转动惯量

• Btotal​=Bm​+BL​：总粘性摩擦系数

• ωm​：机械角速度

• Te​：电磁转矩

• TL​：负载转矩

传递函数（从电磁转矩到角速度）：

Te​(s)Ωm​(s)​=Jtotal​s+Btotal​1​

结构框图：

单惯量系统结构框图 ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 输入 │ │ T_e (电磁转矩) ───┐ │ │ T_L (负载转矩) ───┼─┐ │ ├─────────────────────────────────────────────────────────┤ │ ┌─────┐ │ │ │ ∑ │───T_e - T_L───┐ │ │ └──┬──┘ │ │ │ │ │ │ │ ▼ │ │ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ │ │1/J_t├────────►│1/s ├───► ω_m (输出角速度) │ │ └─────┘ └─────┘ │ │ ▲ │ │ │ │ │ │ │ └──────[B_t]───────┘ │ │ (粘性摩擦反馈) │ └─────────────────────────────────────────────────────────┘

6.2.3 应用场景与局限性

适用场景：

• 负载与电机直接刚性连接

• 传动轴刚度极高，可忽略弹性变形

• 对动态性能要求不高的初步分析

局限性：

• 无法预测机械谐振现象

• 无法分析柔性传动引起的振动问题

• 无法评估传动弹性对控制性能的影响

6.3 双惯量系统模型

6.3.1 物理背景

当传动链存在明显的弹性时（如长轴、皮带、柔性联轴器等），电机转子与负载不能视为刚性连接。此时需要考虑传动轴的扭转变形。

双惯量系统物理模型 ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 电机侧 弹性传动轴 负载侧 │ │ │ │ 电磁转矩T_e ────┐ │ │ │ │ │ ┌───▼───┐ ┌──────────┐ ┌───▼───┐ │ │ 电机 │ │ 弹性轴 │ │ 负载 │ │ │ 转子 │───────┤ 刚度K ├──────┤ J_L │ │ │ J_m │ │ 阻尼C │ │ │ │ └────────┘ └──────────┘ └────────┘ │ │ │ │ │ B_m·ω_m T_s = K·Δθ + C·Δω B_L·ω_L │ │ │ │ │ │ │ 变量定义： │ │ θ_m：电机转角，ω_m = dθ_m/dt │ │ θ_L：负载转角，ω_L = dθ_L/dt │ │ Δθ = θ_m - θ_L：轴扭转变形角 │ │ Δω = ω_m - ω_L：相对角速度 │ └─────────────────────────────────────────────────────────┘

6.3.2 数学模型

分别对电机转子和负载列写运动方程：

电机侧运动方程：

Jm​dtdωm​​=Te​−Ts​−Bm​ωm​

负载侧运动方程：

JL​dtdωL​​=Ts​−TL​−BL​ωL​

传动轴转矩（线性弹簧阻尼模型）：

Ts​=K(θm​−θL​)+C(ωm​−ωL​)

状态空间模型：

取状态变量 x=[θm​,ωm​,θL​,ωL​]T，输入 u=[Te​,TL​]T：

dtdθm​​dtdωm​​dtdθL​​dtdωL​​​=ωm​=Jm​1​[Te​−K(θm​−θL​)−C(ωm​−ωL​)−Bm​ωm​]=ωL​=JL​1​[K(θm​−θL​)+C(ωm​−ωL​)−TL​−BL​ωL​]​

结构框图：

双惯量系统完整结构框图 ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 输入：T_e, T_L │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ 电机侧动力学 │ │ │ │ ┌─────┐ T_e ┌─────┐ ω_m ┌─────┐ θ_m │ │ │ │ │ ∑ ├────────►│1/J_m├───────► │ 1/s ├─────┐ │ │ │ │ └──┬──┘ └─────┘ └─────┘ │ │ │ │ │ │ ▲ │ │ │ │ │ │ │ [B_m]│ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └───────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └─────────────────────────┼────────────────────┼───────┘ │ │ │ │ │ │ ┌─────────────────────────┼────────────────────┼────────┐ │ │ │ 传动轴模型 │ │ │ │ │ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ │ │ │ │ │ │ C ├───┐ │ K ├─┘ │ │ │ │ │ └─────┘ │ └─────┘ │ │ │ │ │ │ T_s = K·(θ_m-θ_L) + C·(ω_m-ω_L) │ │ │ │ └─────────────┐ │ │ │ │ └──────────────────────────┼────────────────────┼────────┘ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┼────────────────────┼────────┐ │ │ │ 负载侧动力学 │ │ │ │ T_s ┌─────┐ ω_L ┌─────┐ θ_L │ │ │ │ ┌─────────►│1/J_L├───────► │ 1/s ├─────┐ │ │ │ │ │ └─────┘ └─────┘ │ │ │ │ │ │ ▲ │ │ │ │ │ │ ┌───┴──┐ [B_L]│ │ │ │ │ │ │ │ ∑ │ └──────────────┘ │ │ │ │ │ └──┬───┘ │ │ │ │ │ │ T_s - T_L │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ T_L ┤ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────┼───────────────────────────────────────┼───────┘ │ │ │ │ │ │ └───────────────────────────────────────┘ │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ 输出：ω_m, ω_L, θ_m, θ_L, T_s │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘

6.3.3 频域特性与机械谐振

双惯量系统在频域表现出明显的谐振特性。从电机转矩到电机速度的传递函数（忽略阻尼）为：

Te​(s)Ωm​(s)​=Jm​s1​⋅s2+ωp2​s2+ωz2​​

其中：

• 反谐振频率：ωz​=JL​K​​

• 谐振频率：ωp​=K(Jm​1​+JL​1​)​

谐振频率是控制器设计的关键限制因素。通常，控制带宽应设计在谐振频率的1/3以下，以避免激发机械谐振。

6.4 多惯量系统模型

6.4.1 物理背景

复杂的机械传动系统通常包含多个惯性部件和弹性连接，如：电机→联轴器→减速机→负载。每个环节都有其惯性和弹性，需要用多惯量系统建模。

三惯量系统物理模型示例 ┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 电机 联轴器 减速机 负载 │ │ ┌───┐ ┌──────┐ ┌──────┐ ┌───┐ │ │ │J_m├──────┤ K1 ├──────┤ J_g ├──────┤K2 ├──────┤ J_L │ │ └───┘ │ C1 │ └──────┘ │C2 │ └───┘ │ │ └──────┘ └───┘ │ │ θ_m,ω_m θ_1,ω_1 θ_g,ω_g θ_L,ω_L │ └─────────────────────────────────────────────────────────────┘

6.4.2 数学模型

以三惯量系统为例，定义：

• Jm​,Jg​,JL​：电机、减速机、负载的转动惯量

• K1​,C1​：电机与减速机之间的刚度和阻尼

• K2​,C2​：减速机与负载之间的刚度和阻尼

运动方程组：

电机侧：

Jm​dtdωm​​=Te​−K1​(θm​−θ1​)−C1​(ωm​−ω1​)−Bm​ωm​

中间惯量（减速机）：

Jg​dtdωg​​=K1​(θm​−θ1​)+C1​(ωm​−ω1​)−K2​(θg​−θL​)−C2​(ωg​−ωL​)−Bg​ωg​

负载侧：

JL​dtdωL​​=K2​(θg​−θL​)+C2​(ωg​−ωL​)−TL​−BL​ωL​

结构框图（简化表示）：

多惯量系统通用结构框图 ┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 输入：T_e, T_L │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ ┌─────────┐ ┌─────────┐ ┌─────────┐ ┌─────────┐ │ │ │ 电机 │ │ 弹性连接 │ │ 中间惯量 │ │ 弹性连接 │ │ │ │ 惯量 │ │ 1 │ │ J_g │ │ 2 │ │ │ │ J_m ├───►│ K1,C1 ├───►│ ├───►│ K2,C2 │ │ │ └─────────┘ └─────────┘ └─────────┘ └─────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌───▼───┐ ┌───▼───┐ ┌───▼───┐ ┌───▼───┐ │ │ │ 摩擦 │ │ 变形 │ │ 摩擦 │ │ 变形 │ │ │ │ B_m │ │ 计算 │ │ B_g │ │ 计算 │ │ │ └───────┘ └───────┘ └───────┘ └───────┘ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ 负载惯量 │ │ │ │ J_L │ │ │ └───────────────────────┬────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ ┌────▼────┐ │ │ │ 摩擦 │ │ │ │ B_L │ │ │ └─────────┘ │ │ │ │ │ ┌────▼────┐ │ │ │ 负载转矩 │ │ │ │ T_L │ │ │ └─────────┘ │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ 输出：各点位置θ_i、速度ω_i、连接转矩T_i │ └─────────────────────────────────────────────────────────────┘

6.4.3 多惯量系统特性

• 多个谐振频率：n个惯量系统有n-1个谐振频率

• 模态复杂：各阶谐振模态对应不同的振动形态

• 参数辨识困难：需要更多测试数据或有限元分析

• 控制挑战：需要设计多个谐振抑制器

6.5 模型参数获取方法

6.5.1 理论计算方法

1. 转动惯量计算：

   • 规则形状：J=∫r2dm

   • 复杂形状：分解为简单形状组合

2. 刚度计算：

   • 轴扭转刚度：K=LGJp​​，其中G为剪切模量，Jp​为极惯性矩

   • 轴向刚度：K=LEA​，其中E为弹性模量，A为截面积

3. 阻尼系数估算：

   • 粘性阻尼通常通过实验测定

   • 经验值：临界阻尼的1-5%

6.5.2 实验辨识方法

参数实验辨识流程 ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 实验设计与数据采集 │ ├─────────────────────────────────────────────────────────┤ │ 1. 阶跃响应测试：施加阶跃转矩，测量速度响应 │ │ 2. 扫频测试：施加不同频率正弦转矩，测量频响特性 │ │ 3. 自由振荡测试：激励后自由衰减，测量谐振频率和阻尼比 │ ├─────────────────────────────────────────────────────────┤ │ 参数估计与模型验证 │ ├─────────────────────────────────────────────────────────┤ │ 1. 时域法：拟合阶跃响应曲线，优化参数 │ │ 2. 频域法：拟合伯德图，识别谐振频率和幅值 │ │ 3. 最小二乘法：利用输入输出数据，最小化预测误差 │ │ 4. 模型验证：用独立测试数据验证模型精度 │ └─────────────────────────────────────────────────────────┘

6.6 总结

6.6.1 模型选择指导

机械传动系统模型选择指南 ┌──────────────┬──────────────┬──────────────┬──────────────┐ │ 模型类型 │ 适用场景 │ 主要优点 │ 主要局限 │ ├──────────────┼──────────────┼──────────────┼──────────────┤ │ 单惯量 │ 刚性传动， │ 模型简单， │ 忽略弹性， │ │ 系统 │ 初步设计， │ 参数少， │ 无法预测 │ │ │ 低速应用 │ 计算快 │ 机械谐振 │ ├──────────────┼──────────────┼──────────────┼──────────────┤ │ 双惯量 │ 大多数柔性 │ 可预测谐振， │ 参数较多， │ │ 系统 │ 传动系统， │ 精度适中， │ 需实验辨识 │ │ │ 中高速应用 │ 广泛使用 │ │ ├──────────────┼──────────────┼──────────────┼──────────────┤ │ 多惯量 │ 复杂传动链， │ 高精度， │ 模型复杂， │ │ 系统 │ 精密系统， │ 全面分析， │ 参数难获取， │ │ │ 高频分析 │ 多谐振预测 │ 计算量大 │ └──────────────┴──────────────┴──────────────┴──────────────┘

6.6.2 在伺服控制中的重要性

1. 控制器设计：谐振频率决定了控制带宽上限

2. 稳定性分析：机械谐振可能引起系统不稳定

3. 性能评估：传动弹性影响定位精度和跟踪性能

4. 故障诊断：监测谐振频率变化可检测机械故障

5. 振动抑制：为陷波滤波器设计提供依据

6.6.3 仿真建模建议

• 初步设计：从单惯量模型开始，快速验证控制算法

• 详细分析：采用双惯量模型，考虑机械谐振影响

• 高精度仿真：对复杂系统使用多惯量模型

• 参数敏感性：分析关键参数变化对系统性能的影响

关键要点：机械传动系统建模是伺服系统仿真不可或缺的部分。选择合适的模型复杂度，准确获取模型参数，是进行有效仿真和控制设计的基础。双惯量模型是平衡精度与复杂度的常用选择，能够有效预测机械谐振，为控制器设计和振动抑制提供关键信息。