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马克·布鲁克揭秘负载均衡系统经济学：M/M/c 模型延迟随服务器数量渐近改善

news 2026/6/20 12:08:12

关于我

我叫马克·布鲁克（Marc Brooker），喜欢打造实用且酷炫的东西，热衷于构建大型项目。此外，我还涉足机械加工、焊接、烹饪和滑雪等领域。我是西雅图亚马逊云服务（AWS）的一名工程师，主要从事自主人工智能（agentic AI）相关工作，尤其关注自主人工智能的安全性和策略。在此之前，我参与过 EC2、EBS、数据库、无服务器计算以及无服务器数据库等项目。本博客所表达的观点仅代表我个人。

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这个博客是由人工智能撰写的吗？

负载均衡系统的惊人经济学

M/M/c 模型的表现或许和你想的不一样。假设有个系统，有 `c` 台服务器，每台只能处理一个并发请求，且无内部队列。这些服务器在一个有无限队列的负载均衡器后面。平均来说，无限数量的客户端每秒向负载均衡器发 `c * 0.8` 个请求。也就是说，我们随 `c` 增加线性提高请求负载，让每台服务器负载恒定。请求到服务器后，平均要一秒处理。那客户端观察到的平均请求时间会怎么随 `c` 变化呢？
选项 A：随着 `c` 增加，平均延迟快速降低，渐近趋近于一秒（即排队时间趋近于零）。选项 B：保持恒定。选项 C：呈线性改善。选项 D：延迟呈线性恶化。凭直觉，你觉得延迟会是哪条曲线呢？

我在 Twitter 上问了粉丝同样的问题，得到了有趣的不同结果：深入分析这个问题能找出正确答案。首先，了解相关术语。在排队论里，这是个 M/M/c 排队系统，即泊松到达过程、指数分布的客户端服务时间和 `c` 台后端服务器。在电信流量工程中，它是埃尔朗（Erlang）延迟系统（或者，因术语多样，也叫 M/M/n）。我们能用排队论的经典结果——埃尔朗 C 公式 _E 2,n(A)_ 来分析这个系统，该公式根据服务器数量（`n` 即 `c`）和提供的流量 `A` 计算传入客户请求进入队列（而非立即处理）的概率。具体细节可参考《电信流量工程手册》第 194 页。以下是该曲线的基本形状（用相同参数）：
沿着蓝色线到半饱和点（提供的负载为 2.5 rps），能看到概率约为 13%。再看紫色线的半饱和点（5 rps），概率仅为 3.6%。所以半负载时，5 台服务器的系统能不排队处理 87% 的流量；负载和服务器数量都翻倍时，能不排队处理 96.4% 的流量，意味着只有 3.6% 的请求会有额外延迟。

事实证明，这种改善确实渐近趋近于 1。Twitter 投票的正确答案是 A。用平均值衡量延迟有争议（尽管也许不应该如此）。为避免争议，我们得知道百分位数是否以相同速率改善。用封闭形式计算有点复杂，但这个系统简单，我们能用蒙特卡罗模拟绘制结果。结果如下：
这完全是个好消息。中位数（p50）和平均线吻合得好，高百分位数（99 分位和 99.9 分位）也有类似形状，没隐藏问题。

这对云计算和服务经济也是好消息。随着 `c` 增大，相同利用率下能有更好延迟，或相同延迟下实现更高利用率，且每台服务器吞吐量不变。这不仅对大型服务有利，因为大部分好处在 `c` 相对较小时就有了。在和规模及分布式系统相关的问题中，很少有随 `c` 增加变容易的，这就是其中一个。

有一些合理的后续问题。我们随意选的 0.8 这个值会影响结果稳定性吗？答案是肯定的，但有一定限度。一旦平均到达率超过系统处理请求的能力，队列就会无限增长，延迟也趋于无穷大。在我们例子中，请求负载超过 `c` 时就会这样。更一般地说，这个系统要稳定，`Î»/cÎ¼` 必须小于 1，其中 `Î»` 是平均到达率，`Î¼` 是服务器处理请求的平均时间。

M/M/c 模型中泊松到达和指数服务时间的假设对典型服务合理吗？我觉得虽不完全对，但有一定合理性。指数服务时间尤其不准，实际服务更接近对数正态分布，但这可能不重要，以后再详细讨论。

更新：丹·波茨（Dan Ports）在我的 Twitter 帖子下回复了一个精彩的 Twitter 线程，指向了 SoCC’14 的《尾部延迟的故事：硬件、操作系统和应用层的尾部延迟来源》，该文章探讨了现实中的这种效应。