大数据算法——布隆过滤器

在我之前的理解当中，如果想要判断某个元素在不在集合当中，经典的结构应该是平衡树和hash table。但是无论是哪一种方法，都逃不开一点，都需要存储原值。

比如在爬虫场景当中，我们需要记录下之前爬过的网站。我们要将之前的网址全部都存储在容器里，然后在遇到新网站的时候去判断是否已经爬过了。在这个问题当中，我们并不关心之前爬过的网站有哪些，我们只关心现在的网站有没有在之前出现过。也就是说之前出现过什么不重要，现在的有没有出现过才重要。

我们利用平衡树或者是Trie或者是AC自动机等数据结构和算法可以实现高效的查找，但是都离不开存储下所有的字符串。想象一下，一个网址大概上百个字符，大约0.1KB，如果是一亿个网址，就需要10GB了，如果是一百亿一千亿呢？显然这么大的规模就很麻烦了，今天要介绍的布隆过滤器就可以解决这个问题，而且不需要存储下原值，这是一个非常巧妙的做法，让我们一起来看下它的原理。

布隆过滤器本身的结构非常简单，就是一个一维的bool型的数组，也就是说每一位只有0或者1，是一个bit，这个数组的长度是m。对于每个新增的项，我们使用K种不同的hash算法对它计算hash值。所以我们可以得到K个hash值，我们用hash值对m取模，假设是x。刚开始的时候数组内全部都是0，我们把所有x对应的位置标记为1。

举个例子，假设我们一开始m是10，K是3。我们遇到第一个插入的值是”线性代数“，我们对它hash之后得到1，3，5，那么我们将对应的位置标记成1.

然后我们又遇到了一个值是”高等数学“，hash之后得到1，8，9，我们还是将对应位置赋值成1，会发现1这个位置对应的值已经是1了，我们忽略就好。

如果这个时候我们想要判断”概率统计”有没有出现过，怎么办？很简单，我们对“概率统计”再计算hash值。假设得到1，4，5，我们去遍历一下对应的位置，发现4这个位置是0，说明之前没有添加过“概率统计”，显然“概率统计”没有出现过。

但是如果“概率统计”hash之后的结果是1，3，8呢？我们判断它出现过就错了，答案很简单，因为虽然1，3，8这个hash组合之前没有出现过，但是对应的位置都在其他元素中出现过了，这样就出现误差了。所以我们可以知道，布隆过滤器对于不存在的判断是准确的，但是对于存在的判断是有可能有错误的。

代码

布隆过滤器的原理很简单，明白了之后，我们很容易写出代码：

# 插入元素 def BloomFilter(filter, value, hash_functions): m = len(filter) for func in hash_functions: idx = func(value) % m filter[idx] = True return filter # 判断元素 def MemberInFilter(filter, value, hash_functions): m = len(filter) for func in hash_functions: idx = func(value) % m if not filter[idx]: return False return True

错误率计算

之前的例子当中应该展示得很明白了，布隆过滤器虽然好用，但是会存在bad case，也就是判断错误的情况。那么，这种错误判断发生的概率有多大呢？

这个概率的计算也不难：由于数组长度是m，所以插入一个bit它被置为1的概率是1m，插入一个元素需要插入k个hash值，所以插入一个元素，某一位没有被置为1的概率是(1−1m)k。插入n个元素之后，某一位依旧为0的概率是(1−1m)nk，它变成1的概率是1−(1−1m)nk。

如果在某次判断当中，有一个没有出现过的元素被认为已经在集合当中了，那么也就是说它hash得到的位置均已经在之前被置为1了，这个时间发生的概率为：

[1−(1−1m)nk]k≈(1−e−knm)k

这里用到了一个极限：

limx→−∞(1−1x)−x=e

我们来求一下冲突率最低时k的取值，为了方便计算，我们令b=enm，代入：

f(k)=(1−b−k)klnf(k)=kln(1−b−k)

两边求导：

1f(k)f′(k)=ln(1−b−k)+kb−klnb1−b−k

我们令导数等于0，来求它的极值：

ln(1−b−k)(1−b−k)=−kb−klnbln(1−b−k)(1−b−k)=b−klnb−k1−b−k=b−kb−k=12

我们将b−k=12代入，可以求出最值时的k=ln2⋅mn≈0.7mn

同理，我们也可以预设定集合元素n和错判率p，来求解对应的n，同样利用上面的公式推算，可以得到m=−nlnp(ln2)2

如果我们允许一定的容错，并且能够大概估计会出现的元素的个数，那么完全可以使用布隆过滤器来代替传统的容器判重的方法。这样不仅效率极高，而且对于存储的要求非常小。

灵魂拷问

原理也明白了，代码也看懂了，这个时候我们来思考一个问题：布隆过滤器可以删除元素吗？

很遗憾，布隆过滤器是不支持删除的。

因为布隆过滤器的每一个bit并不是独占的，很有可能多个元素共享了某一位。如果我们直接删除这一位的话，会影响其他的元素。

还是用上面的例子举例：我们删除线性代数，线性代数对应的位置是1，3，5，虽然我们并没有删除高等数学，但是由于我们移除了高等数学也用到的位置1，如果我们再去判断高等数学是否存在就会得到错误的结果，虽然我们并没有删除它。

当然，在一些必须要有删除功能的场景下，也是有办法的。方法也很简单，就是修改数据结构，将原本每一位一个bit改成一个int，当我们插入元素的时候，不再是将bit设置为true，而是让对应的位置自增，而删除的时候则是对应的位减一。这样，我们删除单个结果就不会影响其他元素了。

这种方法并不是完美的，由于布隆过滤器存在误判的情况，很有可能我们会删除原本就不存在的值，这同样会对其他元素产生影响。

布隆过滤器是一个优缺点都非常明显的数据结构，优点非常出色：速度足够快，内存消耗小，代码实现简单。但是缺点也很明显：不支持删除元素，会有误判的情况。这样特点鲜明的数据结构真的非常吸引人。

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