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高中不讲但有点用，啥子能看懂的微积分入门！

news 2026/8/6 23:45:02

本文会介绍一些高中老师不讲，但对于高中数学物理有一定帮助的（一元函数）微积分基础，由于笔者能力非常有限，大多数不会，略去了大量证明，而且理解较为浅薄，逻辑可能混乱，若有勘误希望读者指出。

（笔者默认读者已经学完高中数学）本文参考《Art Of Problem Solving: Calculus》，《高等数学》同济版，以及 B 站宋浩老师的网课。

0. 背景

$$ (木板)'=木棍 $$
$$ (木板)''=(木棍)'=木屑 $$
$$ \int 木板 = 木箱 + C $$

顾名思义，“微”就是分成小段，“积”就是把小段累加起来。微积分的思想很自然，在生活和物理中很常见，它的前身是“微元法”。

比如，要计算区间上一个函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的图形的面积，我们会把它分割成 $n$ 条矩形，每个矩形分别求面积（有多种计算方法）再累加。

当 $n$ 越来越大的时候，每个矩形越来越窄，高度越来越接近 $f(x)$，矩形组成的图形也越来越接近原来的图形，这就是微积分的思想。

我们经常写的 $\sum v\Delta t=x$ 也是这个道理。

要了解微积分，首先，也是最重要的，要了解极限。

1. 函数的极限与连续

高中数学书只把极限当作符号，不讲连续就直接讲导数，全在背公式，这也太难受了！

1.1 极限

直觉上理解，极限就是函数 $f(x)$ 在 $x(x\in \mathbb{R})$ 处“靠近”某个值 $c(c \in \mathbb{R})$。

例 1.1.1

考虑函数 $f(x)=x+1$ 和 $g(x)= \dfrac{x^2-1}{x-1} $。这两函数有什么不同？
有且仅有定义域不同，$g(x)=x+1(x\neq1)$。在图像上呈现，就是“挖掉了” $(1,2)$。

显然，$g(x)$ 会“接近”$(1,2)$，我们记作 $\lim_{x\to 1}g(x)=2$，读作“当 $x$ 趋近于 $1$ 时，$g(x)$ 的极限为 $2$。”

【仅作了解】$\delta-\epsilon$ 语言

定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域中有定义，如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\epsilon$（无论它多么小），总存在正数 $δ$，使得当 $x$ 满足不等式
$0 < |x - x_0| < δ$
时，对应的函数值 $$f(x)$$ 都满足不等式
$|f(x) - A| < ε$
那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作：$lim_{x→x_0} f(x) = A$。
这个定义晦涩难懂，曾经折磨了笔者好久，仅作了解即可。
去心邻域：可以理解为 $x\in(x_0-\delta,x_0)∪(x_0,x_0+\delta)$。
用人话讲，这个定义的意思就是对于正数 $\epsilon$，若有常数 $A$ 使得总存在正数 $\delta$ 使得 $x \in (x_0-\delta,x_0)∪(x_0,x_0+\delta)$ 时 $f(x) \in (A-\epsilon,A+\epsilon)$，则 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的极限。
可以想象由直线 $x=x_0-\delta,x=x_0+\delta,y=A-\epsilon,y=A
+\epsilon$ 框出来一个“方框”，中心为 $(x_0,A)$。

注意：$\lim_{x \to x_0}f(x)$ 与 $f(x_0)$ 的值无关，与 $x_0$ 是否在 $f(x)$ 定义域内无关。

极限的性质（线性性）和运算：
若 $\lim_{x\to a}f(x)=M,\lim_{x\to a}g(x)=N$，

$\lim_{x\to a}(f+g)(x)=M+N$（和的极限等于极限的和）
$\lim_{x\to a}cf(x)=cM$
$\lim_{x\to a}(fg)(x)=MN$（积的极限等于极限的积）
$N\neq 0,\lim_{x\to a}(f/g)(x)=M/N$（商的极限等于极限的商）

证明使用 $\epsilon-\delta$ 语言，略。

*单侧极限：从左边趋近的叫做极限，从右边趋近的叫右极限，若左右极限均存在且相等，则存在唯一的双侧极限，我们平常说的极限都是双侧极限。

1.2 连续

直觉上，一个函数连续就是可以“一笔画完”，没有“挖掉的”。严谨的“函数连续”定义如下：

若 $a$ 为实值函数 $f(x)$ 定义域内一点，若 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，则称 $f(x)$ 在 $a$ 点连续。若 $f(x)$ 在定义域内处处连续，则 $f(x)$ 为连续函数。

由极限的四则运算可以推出：

若 $f(x), g(x)$ 在 $a$ 点连续，则

$lim_{x\to a}(f+g)(x)=lim_{x\to a}f(x)+lim_{x\to a}g(x)=f(a)+g(a)=(f+g)a$

$cf(x)+dg(x),(fg)(x),(f/g)(x)$（$c,d$ 为常数，$g(a)\neq 0$）在 $a$ 点均连续。

介值定理：如果 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上连续的实值函数，且 $f(a)\neq f(b)$，则必存在 $c\in(a,b)$，使得 $f(c)=y$，$y$ 为介于（不包含）$f(a),f(b)$ 之间的实数。

有界性定理：如果 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上连续的实值函数，必有上界 $M$ 和下界 $N$。即 $\forall x\in [a,b],f(x)\geq N,f(x)\leq M$。注意开区间不满足。

极值（最值）定理：如果 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上连续的实值函数，上界为 $M$ 下界为 $N$，则一定存在 $f(c)=M, f(d)=N,c,d\in [a,b]$。即 $\forall x\in [a,b],f(x)\geq f(d),f(x)\leq f(c)$。

证明咕咕咕……

2. 导数与微分

2.1 定义

求导最无脑的理解就是求切线斜率，但求直线的斜率必须知道两个点……对吧？我们所熟知的是求割线斜率，设函数 $f(x)$ 上有两个不同的点 $P(a,f(a)),Q(b,f(b))$，则直线 $PQ$ 的斜率为 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$，就是因变量的变化量除以自变量的变化量。

将 $b$ 写作 $a+\Delta h$, 那么斜率为 $\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\dfrac{f(a+\Delta h)-f(a)}{a+\Delta h-a}=\dfrac{f(a+\Delta h)-f(a)}{\Delta h}$

欸？当 $\Delta h$ 变小时，两个点慢慢靠近，马上会变成一个点，那样割线不就变成切线了！

当 $\Delta x$ 即 $\Delta h$ 极小，趋近于 $0$ 时，我们将其记作 $\text{d} x$，即 $x$ 的微分，就是极小增量，就是微元法中小矩形条的底边长。此时$\Delta f(x)$ 记作 $f$ 的微分 $\text{d}f$，就是微元法中下个矩形条与这个矩形条的高度差。此时的斜率就是 $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}$。

于是导数的定义出来了：$f(x)$ 在 $P(a,f(a))$ 点的导函数（简称导数，是函数不是数）为 $f'(a)=\lim_{\Delta h\to 0}\dfrac{f(a+\Delta h)-f(a)}{\Delta h}$。注意这个公式只有 $f(x)$ 在 $a$ 可导时才能使用。

导数有多种记法，常见的有：
$$f'(x)\ \ \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} \ \ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)$$

另：注意导数和微分本质不同，不要混淆了，$f'\text{d}x=\text{d}f$，$\text{d}$ 是类似 $\Delta$ 的求微分符号，不是代表 $x$ 是主元的符号。

2.2 可导性

在一元函数中，可微和可导等价，就是“可以求微分”。

可导一定连续，但连续不一定可导。

常见的连续但不可导的函数：

有“拐角”的函数，如绝对值函数，在 $0$ 处不可导，因为绝对值函数的导函数定义域里面没有 $0$。
$f(x)$ 在 $a$ 处切线与 $y$ 轴平行，切线斜率无定义。

2.3 导数的基本运算

高中课本讲过，但没有进行推导：

$(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)$
$[cf(x)]'=cf'(x)$
$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$(f/g)'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

其实只需要按定义就能证明了。

$$
\begin{aligned}
(f+g)'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h} \
=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \
=f'(x)+g'(x)
\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}
(fg)'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{(fg)(x+h)-(fg)(x)}{h} \
=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \
=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h} \
=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h} \
=f(x+h)g'(x)+f'(x)g(x) = f(x)g'(x)+f'(x)g(x)
\end{aligned}
$$

最后使用了连续性。

常用导数表

$C'=0$

$(x^n)'=nx$

$ (e^x)'=ex $

$ (a^x)'==a\ln a$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$

$ (\sin x)'=\cos x $

$ (\cos x)'=-\sin x $

$ (\tan x)'=\sec^2 x $

$ (\cot x)'=-\csc^2 x $

下面证明：
$$ \begin{aligned}
(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h} \
= \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x\cos h+\cos x \sin h -\sin x}{h} \
= \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x(\cos h-1)+\cos x \sin h}{h} \
= \cos x
\end{aligned}
$$

注解：$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, \lim_{x\to 0}\cos x=1$。

$$ \begin{aligned}
(\tan x)'=(\dfrac{\sin x}{\cos x})' \
=\dfrac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} \
=\dfrac{\cos ^2 x+\sin ^2 x}{\cos ^2 x} \ = \dfrac{1}{\cos ^2 x} = \cot ^2x\
\end{aligned}
$$

$$ \begin{aligned}
(x^n)'= \lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-xn}{h} \
= \lim_{h\to 0}\dfrac{x^n+nhx+(_2^n)h2x^{n-2}+\cdots
+h^n-xn}{h} \
= nx^{n-1}+(_2n)hx^{{n-2}+\cdots+h} \
= nx^{n-1}
\end{aligned}
$$

忽略高阶小量。

对于指数对数函数：使用换底公式。

$a^x=(e)^x=e$

$\log_a{x}=\dfrac{\ln{x}}{\ln{a}}$